Punktierter topologischer Raum
Ein punktierter topologischer Raum ist ein Paar (X,x0), bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Punkt x0 in X (Grundpunkt, Basispunkt, ausgezeichneter Punkt). Eine punktierte (stetige) Abbildung (X,x0) → (Y,y0) ist eine stetige Abbildung X → Y, die x0 auf y0 abbildet.
Häufig wird der Grundpunkt auch einfach mit einem Stern bezeichnet.
Ist die Inklusion eine Kofaserung, so spricht man von einem wohlpunktierten Raum.[1]
Ein topologischer Raum heißt homogen, wenn je zwei punktierte topologische Räume auf ihm isomorph sind.
Kategorielle Eigenschaften
Die Kategorie der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur Kommakategorie . Sie besitzt Nullobjekte (diejenigen Räume, welche nur aus dem einen Punkt bestehen). Produkte sind die gewöhnlichen Produkte topologischer Räume, Koprodukte sind Ein-Punkt-Vereinigungen, also disjunkte Vereinigungen, bei denen die jeweiligen ausgezeichneten Punkte miteinander identifiziert werden, geschrieben .
Homotopieklassen punktierter Abbildungen
Zwei punktierte Abbildungen
heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung mit
gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit bezeichnet.
Einzelnachweise
- ↑ Jon P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1999, ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 8.3.