Punktgruppe

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen:

Mathematische Grundlagen

Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben (Symmetriegruppe). Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei

  • gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und
  • ungerade Bewegungen, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.

Mögliche Symmetrieoperationen in Punktgruppen im dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum sind die Symmetrieoperationen, die mindestens einen Fixpunkt besitzen:

sowie als Kombination daraus

Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können nicht Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Es gibt

  • kontinuierliche Punktgruppen. Sie werden auch Curie-Gruppen genannt und bestehen aus
    • den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und
    • den Kugelgruppen (mit zwei unendlichzähligen Drehachsen);
  • diskrete Punktgruppen. Sie lassen sich einteilen in:
    • diskrete Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie können mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein, dabei gibt es folgende Möglichkeiten:
GruppeGruppensymbol (Schönflies)Erläuterung
DrehgruppeCnEine n-zählige Drehachse
Cnv1 Cn-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten (v: vertikale Spiegelebene)
Cnh1 Cn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht zu dieser Achse (h: horizontale Spiegelebene)
DiedergruppeDn1 Cn-Achse + n C2-Achsen senkrecht dazu
Dnd1 Dn-Achse + n Spiegelebenen, die die Dn-Achse und eine Winkelhalbierende der C2-Achsen enthalten (d: diagonale Spiegelebene)
Dnh1 Dn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu
DrehspiegelgruppeSn1 n-zählige Drehspiegelachse
Für einzelne dieser Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:
  • ( Spiegelung)
  • ( Inversion, d. h. Punktspiegelung)
  • diskrete Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie entsprechen den Symmetriegruppen der platonischen Körper:

Punktgruppen in der Kristallographie

Die vollständige mögliche Symmetrie einer Kristallstruktur wird mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Hier kommen zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen auch Translationen in Form von Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor.

Dagegen genügen zur Beschreibung der Symmetrie eines makroskopischen Einkristalls die Punktgruppen, da es sich bei Kristallen stets um konvexe Polyeder handelt und mögliche interne Translationen in der Struktur makroskopisch nicht erkennbar sind. Streicht man also in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen durch entsprechende Drehachsen sowie die Gleitspiegelebenen durch entsprechende Spiegelebenen, so erhält man die geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls.

Als Kristallklassen bzw. kristallographische Punktgruppen kommen daher nur diejenigen dreidimensionalen Punktgruppen in Frage, deren Symmetrien mit einem dreidimensional unendlich ausgedehnten (Kristall-)Gitter vereinbar sind. Dies ist bei den Punktgruppen der Fall, in denen keine oder ausschließlich 6-, 4-, 3- und/oder 2-zählige Drehachsen vorkommen (Drehungen um 0, 60, 90, 120 bzw. 180 Grad und jeweils Vielfache davon). Insgesamt gibt es von diesen speziellen Punktgruppen die folgenden 32 Stück:

Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen)

Punktgruppe (Kristallklasse)Physikalische Eigenschaften[Anm. 1]Beispiele
Nr.Kristall­systemNameSymbolLaue­gruppeZuge­hörige Raum­gruppen (Nr.)En­an­tio­mor­phieOp­ti­sche Ak­ti­vi­tätPy­ro­elekt­ri­zitätPi­ezo­elekt­ri­zität; SHG-Effekt
Schoen­fliesHermann-Mauguin
(International)
LangKurz
1triklintriklin-pedialC11111+++
[uvw]
+Abelsonit
Axinit
2triklin-pinakoidalCi (S2)112Albit
Anorthit
3monoklinmonoklin-sphenoidischC2121 bzw. 11222/m3–5+++
[010] bzw. [001]
+Uranophan
Halotrichit
4monoklin-domatischCs (C1h)1m1 bzw. 11mm6–9++
[u0w] bzw. [uv0]
+Soda
Skolezit
5monoklin-prismatischC2h12/m1 bzw. 112/m2/m10–15Gips
Kryolith
6ortho­rhombischorthorhombisch-disphenoidischD2 (V)222222mmm16–24+++Austinit
Epsomit
7orthorhombisch-pyramidalC2vmm2mm225–46++
[001]
+Hemimorphit
Struvit
8orthorhombisch-dipyramidalD2h (Vh)2/m2/m2/mmmm47–74Topas
Anhydrit
9tetragonaltetragonal-pyramidalC4444/m75–80+++
[001]
+Pinnoit
Percleveit‑(Ce)
10tetragonal-disphenoidischS44481–82++Schreibersit
Cahnit
11tetragonal-dipyramidalC4h4/m4/m83–88Scheelit
Baotit
12tetragonal-trapezoedrischD44224224/mmm89–98+++Cristobalit
Maucherit
13ditetragonal-pyramidalC4v4mm4mm99–110+
[001]
+Lenait
Diaboleit
14tetragonal-skalenoedrischD2d (Vd)42m bzw. 4m242m111–122++Chalkopyrit
Stannit
15ditetragonal-dipyramidalD4h4/m2/m2/m4/mmm123–142Rutil
Zirkon
16trigonaltrigonal-pyramidalC3333143–146+++
[001]
+Carlinit
Gratonit
17rhomboedrischC3i (S6)33147–148Dolomit
Dioptas
18trigonal-trapezoedrischD3321 bzw. 312323m149–155+++Quarz
Tellur
19ditrigonal-pyramidalC3v3m1 bzw. 31m3m156–161+
[001]
+Turmalin
Pyrargyrit
20ditrigonal-skalenoedrischD3d32/m1 bzw. 312/m3m162–167Calcit
Korund
21hexagonalhexagonal-pyramidalC6666/m168–173+++
[001]
+Nephelin
Zinkenit
22trigonal-dipyramidalC3h66174+Penfieldit
Laurelit
23hexagonal-dipyramidalC6h6/m6/m175–176Apatit
Zemannit
24hexagonal-trapezoedrischD66226226/mmm177–182+++Hochquarz
Pseudorutil
25dihexagonal-pyramidalC6v6mm6mm183–186+
[001]
+Wurtzit
Zinkit
26ditrigonal-dipyramidalD3h6m2 bzw. 62m6m2187–190+Bastnäsit
Benitoit
27dihexagonal-dipyramidalD6h6/m2/m2/m6/mmm191–194Graphit
Magnesium
28kubischtetraedrisch-pentagondodekaedrischT2323m3195–199+++Ullmannit
Natriumbromat
29disdodekaedrischTh2/m3m3200–206Pyrit
Kalialaun
30pentagon-ikositetraedrischO432432m3m207–214++Maghemit
Petzit
31hexakistetraedrischTd43m43m215–220+Sphalerit
Sodalith
32hexakisoktaedrischOh4/m32/mm3m221–230Diamant
Kupfer
  1. Bei den Angaben zu den physikalischen Eigenschaften bedeutet:
    “ aufgrund der Symmetrie verboten
    +“ erlaubt.
    Über die Größenordnung der optischen Aktivität, Pyro- und Piezoelektrizität sowie des SHG-Effekts kann rein aufgrund der Symmetrie keine Aussage getroffen werden; man kann aber davon ausgehen, dass stets eine zumindest schwache Ausprägung der Eigenschaft vorhanden ist.
    Für die Pyroelektrizität ist, sofern vorhanden, auch die Richtung des pyroelektrischen Vektors angegeben.

Anmerkungen

Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen einer Raumgruppe bilden einen Normalteiler von . Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, d. h. seine makroskopischen Eigenschaften. An anderen Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle; dagegen kommen sowohl bei Molekülen als auch bei Festkörpern in den Quasikristallen solche Drehachsen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der darauf folgenden Neudefinition des Begriffs Kristall war das Verbot als für Kristalle universell gültig angenommen worden.[1]

Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

Punktgruppen in der Molekülphysik

Punktgruppen und Molekülsymmetrie
SchoenfliesHermann-MauginSymmetrieelementeMolekülbeispiele
Punktgruppen geringer Symmetrie
C1I/E = C1CHFClBr, SOBrCl
Cs ≡ S1σ ≡ S1BFClBr, SOCl2
Ci ≡ S2i ≡ S21,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-Weinsäure
ebene Drehgruppen SO(2)
C2C2H2O2, S2Cl2
C3C3Triphenylmethan, N(GeH3)3
C4C4
C5C515-Krone-5
C6C6α-Cyclodextrin
Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen
C2v ≡ D1hC2, 2σvH2O, SO2Cl2, o-/m-Dichlorbenzol
C3vC3, 3σvNH3, CHCl3, CH3Cl, POCl3
C4vC4, 4σvSF5Cl, XeOF4
C5v-C5, 5σvCorannulen, C5H5In
C6vC6, 6σvBenzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
C∞v-C, ∞σvlineare Moleküle wie HCN, COS
Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen
C2h ≡ D1d ≡ S2vC2, σh, iOxalsäure, trans-Buten
C3h ≡ S3C3, σhBorsäure
C4hC4, σh, iPolycycloalkan C12H20
C6hC6, σh, iHexa-2-propenyl-benzol
Drehspiegelgruppen
S4S412-Krone-4, Tetraphenylmethan, Si(OCH3)4
S6 ≡ C3iS618-Krone-6, Hexacyclopropylethan
Diedergruppen
D2 ≡ S1v3C2Twistan
D3C3, 3C2Tris-chelatkomplexe
D4C4, 4C2-
D6C6, 6C2Hexaphenylbenzol
Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen
D2hS2, 3C2, 2σv, σh, iEthen, p-Dichlorbenzol
D3hS3, C3, 3C2, 3σv, σhBF3, PCl5
D4hS4, C4, 4C2, 4σv, σh, iXeF4
D5h-S5, C5, 5C2, 5σv, σhIF7
D6hS6, C6, 6C2, 6σv, σh, iBenzol
D∞h-S2, C, ∞C2, ∞σv, σh, ilineare Moleküle wie Kohlendioxid, Ethin
Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen
D2d ≡ S4vS4, 2C2, 2σdPropadien, Cyclooctatetraen, B2Cl4
D3d ≡ S6vS6, C3, 3C2, 3σd, iCyclohexan
D4d ≡ S8v-S8, C4, 4C2, 4σdCyclo-Schwefel (S8)
D5d ≡ S10v-S10, C5, 5C2, 5σdFerrocen
Tetraedergruppen
T4C3, 3C2Pt(PF3)4
Th4S6, 4C3, 3C2, 3σh, iFe(C6H5)6
Td3S4, 4C3, 3C2, 6σdCH4, P4, Adamantan
Oktaedergruppen
O3C4, 4C3, 6C2-
Oh4S6, 3S4, 3C4, 4C3, 6C2, 3σh, 6σd, iSF6, Cuban
Ikosaedergruppen
I-12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2-
Ih-12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2, 15σv, iFulleren-C60, Fulleren-C20 (Pentagondodekaeder)
räumliche Drehgruppen SO(3)
Kh-∞C, ∞σ, ieinatomige Teilchen wie Helium, Elementarteilchen

Anwendungen

Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im Allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle Materialeigenschaften durch einen entsprechenden Tensor beschrieben.

Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors bzw. der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:

  1. In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.
  2. Die elastischen Konstanten sind ein Tensor 4. Stufe, der im Allgemeinen 34 = 81 Komponenten hat. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten:
  • C1111 (= C2222 = C3333)
  • C1122 (= C2233 = C1133) und
  • C1212 (= C1313 = C2323);
alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie des Moleküls bzw. Kristalls die Anzahl der infrarot- und raman-aktiven Moden und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnen.

Literatur

  • Wolfgang Demtröder: Molekülphysik. Oldenbourg, München 2003, ISBN 3-486-24974-6.
  • Will Kleber, Hans-Joachim Bautsch, Joachim Bohm, Detlef Klimm: Einführung in die Kristallographie. 19. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3.
  • Hahn, Theo (Hrsg.): International Tables for Crystallography Vol. A D. Reidel publishing Company, Dordrecht 1983, ISBN 90-277-1445-2
  • Hollas, J. Michael: Die Symmetrie von Molekülen, Walter de Gruyter, Berlin 1975, ISBN 3-11-004637-7

Weblinks

Commons: Point groups – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. The Nobel Prize in Chemistry 2011. In: Nobelprize.org. Abgerufen am 21. Oktober 2011 (englisch).