Proximum

Das Proximum ist ein vor allem in der numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Räume. Das Proximum zu einem Punkt ${\displaystyle x}$ innerhalb einer ${\displaystyle x}$ nicht enthaltenden Menge ${\displaystyle Y}$ ist derjenige Punkt aus ${\displaystyle Y}$, der zu ${\displaystyle x}$ den geringsten Abstand hat.

Definition

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum, ${\displaystyle Y\subset X}$ eine Teilmenge und ${\displaystyle x\in X}$ beliebig. Der Abstand des Elements ${\displaystyle x}$ zur Teilmenge ${\displaystyle Y}$ wird mittels der Distanzfunktion ${\displaystyle \operatorname {dist} }$ definiert durch

${\displaystyle \operatorname {dist} (x,Y):=\inf _{y\in Y}d(x,y)\,.}$

Existiert nun ein ${\displaystyle p\in Y}$ mit:

${\displaystyle d(x,p)=\operatorname {dist} (x,Y)\,}$

so nennt man ${\displaystyle p}$ Proximum oder Bestapproximation zu ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle Y}$.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum ${\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert )}$ zu tun. Ein Proximum ${\displaystyle p}$ zu ${\displaystyle x\in X}$ in ${\displaystyle Y\subset X}$ ist dann – falls existent – charakterisiert durch die Gleichung

${\displaystyle \lVert x-p\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x-y\rVert }$

Zur Existenz eines Proximums

• Sei ${\displaystyle (X,d)\,}$ ein metrischer Raum. ${\displaystyle A\subset X}$ sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes ${\displaystyle x\in X}$ ein Proximum in ${\displaystyle A}$.

• Sei ${\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert )}$ ein normierter Raum. ${\displaystyle V\subset X}$ sei ein endlichdimensionaler Teilraum und ${\displaystyle Y\subset V}$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes ${\displaystyle x\in X}$ ein Proximum in ${\displaystyle Y}$.

Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen

Sei ${\displaystyle f\in C[a,b],U\subset C[a,b]}$ ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für ${\displaystyle f}$ aus ${\displaystyle U}$ eindeutig bestimmt.

Sei ${\displaystyle U}$ ein endlichdimensionaler Unterraum von ${\displaystyle C[a,b]}$. Ist für jedes ${\displaystyle f\in C[a,b]}$ das Proximum aus ${\displaystyle U}$ eindeutig bestimmt, dann ist ${\displaystyle U}$ ein Tschebyschow-System.

Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen

Sei ${\displaystyle f\in C[a,b],U\subset C[a,b]}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionales Tschebyschow-System. ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ist genau dann ein Proximum für ${\displaystyle f}$ aus ${\displaystyle U}$, wenn es ${\displaystyle n+1}$ Stellen ${\displaystyle x_{i}}$ mit ${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}\leq b}$ gibt, so dass

• ${\displaystyle |f(x_{i})-u_{0}(x_{i})|=\max _{x\in [a,\,b]}|f(x)-u_{0}(x)|}$, ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$ (Extremalpunkt)
• ${\displaystyle \operatorname {sign} \left(f(x_{i-1})-u_{0}(x_{i-1})\right)=-\operatorname {sign} (f(x_{i})-u_{0}(x_{i}))}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ (alternierend)

Dies folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.

Proximum im Hilbertraum

Ist ${\displaystyle X}$ ein Hilbertraum und ${\displaystyle Y\subset X}$ eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem ${\displaystyle x\in X}$ genau ein ${\displaystyle p\in Y}$ mit

${\displaystyle \lVert x-p\rVert \leq \lVert x-y\rVert \,\,\forall \,y\in Y}$.

Ist ${\displaystyle Y}$ ein abgeschlossener Untervektorraum, so erhält man das Proximum ${\displaystyle p}$ als Orthogonalprojektion von ${\displaystyle x}$ auf ${\displaystyle Y}$.

Siehe auch

• Alternantensatz
• Minimallösung

Literatur

• Arnold Schönhage: Approximationstheorie. de Gruyter, Berlin 1971, ISBN 3-11-001982-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).