Proendliche Vervollständigung

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist die proendliche Vervollständigung eine Konstruktion, mit der die Informationen über alle endlichen Faktorgruppen einer Gruppe zusammengefasst werden können.

Definition

Für eine (diskrete) Gruppe ${\displaystyle G}$ betrachtet man das inverse System ${\displaystyle \left\{G/\Gamma \right\}_{\Gamma }}$, wobei ${\displaystyle \Gamma }$ über alle Normalteiler ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ von endlichem Index läuft und definiert dann die proendliche Vervollständigung ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ von ${\displaystyle G}$ als den inversen Limes dieses Systems

${\displaystyle {\widehat {G}}=\varprojlim G/\Gamma }$

in der Kategorie der topologischen Gruppen.

Universelle Eigenschaft

Die proendliche Vervollständigung ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ist eine proendliche Gruppe. Der natürliche Homomorphismus ${\displaystyle i\colon G\to {\widehat {G}}}$ hat die folgende universelle Eigenschaft: für jeden Homomorphismus ${\displaystyle f\colon G\to H}$ in eine proendliche Gruppe ${\displaystyle H}$ gibt es einen stetigen Homomorphismus ${\displaystyle {\hat {f}}\colon {\widehat {G}}\to H}$ mit ${\displaystyle f={\hat {f}}\circ i}$.

Weitere Eigenschaften

• Wenn ${\displaystyle G}$ endlich erzeugt ist, dann ist jede Untergruppe von endlichem Index ${\displaystyle H\subset {\widehat {G}}}$ offen und ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}={\widehat {G}}}$.^[1]
• Wenn ${\displaystyle G}$ endlich erzeugt ist, dann gilt für jede endliche Gruppe ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\widehat {G}},H)=\mathrm {Hom} (G,H)}$.^[2]

• Für eine Gruppe ${\displaystyle G}$ bezeichne ${\displaystyle Q(G)}$ die Menge aller endlichen Faktorgruppen von ${\displaystyle G}$. Dann gilt für endlich erzeugte Gruppen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$:

${\displaystyle {\widehat {G}}\simeq {\widehat {H}}\Longleftrightarrow Q(G)=Q(H)}$.^[3]

Beispiele

Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.

Sie ist isomorph zum Produkt der p-adischen Zahlen über alle Primzahlen ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \Pi _{p}\mathbb {Z} _{p}}$.

• Sei ${\displaystyle G=\pi _{1}X}$ die Fundamentalgruppe einer komplexen projektiven Varietät. Dann ist ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ isomorph zur algebraischen Fundamentalgruppe von ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\widehat {G}}\cong \pi _{1}^{alg}(X)}$.

• Der natürliche Homomorphismus

${\displaystyle G\to {\widehat {G}}}$

ist genau dann injektiv, wenn ${\displaystyle G}$ residuell endlich ist. Residuell endliche Gruppen sind in zahlreichen Teilen der Mathematik von Bedeutung.

Literatur

Ribes, Luis; Zalesskii, Pavel: Profinite groups. Second edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics, 40. Springer-Verlag, Berlin, 2010. ISBN 978-3-642-01641-7

Weblinks

• Profinite completion of a group (nLab)

Einzelnachweise

1. ↑ Ribes-Zalesskii, op.cit., Proposition 3.2.2
2. ↑ Nikolov, Nikolay; Segal, Dan: On finitely generated profinite groups. I. Strong completeness and uniform bounds. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 1, 171–238.
3. ↑ Ribes-Zalesskii, op.cit., Corollary 3.2.8