Produkt-σ-Algebra

Eine Produkt-σ-Algebra, auch Kolmogorowsche σ-Algebra^[1] genannt, ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Produkt-σ-Algebren erlauben die Definition von Produktmaßen, die den intuitiven Volumenbegriff auf höherdimensionale Räume verallgemeinern.

Gegeben sei eine Grundmenge, die das kartesische Produkt ${\displaystyle \textstyle \Omega =\prod _{i\in I}\Omega _{i}}$ für eine nichtleere Indexmenge ${\displaystyle I}$ sei. Jede der Mengen ${\displaystyle \Omega _{i}}$ sei zudem mit einer σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ versehen. Die Produkt-σ-Algebra von ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{i})_{i\in I}}$ (oder auch Kolmogorowsche σ-Algebra) ist dann definiert als

${\displaystyle \bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}:=\sigma \left(\{\pi _{i}^{-1}(A_{i})\,|\,i\in I,\,A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}\}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \textstyle \pi _{i}\colon \Omega \rightarrow \Omega _{i}}$ die Projektion auf die ${\displaystyle i}$-te Komponente bezeichnet. Das Paar

${\displaystyle {\biggl (}\prod _{i\in I}\Omega _{i},\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}{\biggr )}}$

bildet einen Messraum, der auch als messbares Produkt der Familie ${\displaystyle ((\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i}))_{i\in I}}$ bezeichnet wird.

Man nennt

${\displaystyle \pi _{i}^{*}({\mathcal {A}}_{i}):=\{\pi _{i}^{-1}(A_{i})\,|A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}\}=\left\{\left(\prod \limits _{j\in I\setminus \{i\}}\Omega _{j}\right)\times A_{i}\,|A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}\right\}}$

auch Pullback-σ-Algebra.

Ist ${\displaystyle I=\{1,2\}}$, so schreibt man häufig auch ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}}$ statt ${\displaystyle \textstyle \bigotimes _{i=1}^{2}{\mathcal {A}}_{i}}$.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}={\mathcal {A}}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$, so verwendet man teilweise auch die Notation ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\otimes I}}$ für die entsprechende Produkt-σ-Algebra.

In der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Produkt-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}}$ von einigen Autoren mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\times {\mathcal {A}}_{2}}$ bezeichnet.^[2][3][4]

Die Produkt-σ-Algebra lässt sich auch als die kleinste σ-Algebra definieren, bezüglich derer die Projektionen auf die einzelnen Komponenten messbar sind. Da Messbarkeit nur auf einem Erzeuger ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$ der σ-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ überprüft werden muss, ergibt sich damit

${\displaystyle \bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}=\sigma {\biggl (}\bigcup _{i\in I}\pi _{i}^{-1}({\mathcal {A}}_{i}){\biggr )}=\sigma {\biggl (}\bigcup _{i\in I}\pi _{i}^{-1}({\mathcal {E}}_{i}){\biggr )}}$.

Damit ist die Produkt-σ-Algebra der ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ die Initial-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ der ${\displaystyle \pi _{i}}$:

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\pi _{i},\,i\in I)=\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}}$.

Fasst man zwei σ-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}}$ als Mengenalgebren auf und bildet das Produkt dieser Algebren ${\displaystyle {\mathcal {C}}:={\mathcal {A}}_{1}\boxtimes {\mathcal {A}}_{2}}$, so ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ wieder eine Algebra und ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}=\sigma ({\mathcal {A}}_{1}\boxtimes {\mathcal {A}}_{2})}$.

Man beachte, dass das Produkt zweier σ-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$ im Allgemeinen keine σ-Algebra ist. Jedoch ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\times {\mathcal {A}}_{2}}$ ein Halbring und insbesondere ${\displaystyle \cap }$-stabil.

Für eine abzählbare (endliche oder abzählbar unendliche) Indexmenge ${\displaystyle I}$ gilt

${\displaystyle \bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}=\sigma {\biggl (}\prod _{i\in I}^{\star }{\mathcal {A}}_{i}{\biggr )},}$

wobei

${\displaystyle \prod _{i\in I}^{*}{\mathcal {A}}_{i}={\biggl \{}\prod _{i\in I}A_{i}\mid (A_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}{\biggr \}}}$

aus kartesischen Produkten der Familie ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{i})_{i\in I}}$ gebildet ist. Das gewöhnliche kartesische Produkt ${\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}}$ der Mengensysteme enthält als Elemente Mengenfamilien ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ mit ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$, während das Produkt ${\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}^{*}{\mathcal {A}}_{i}}$ als Elemente kartesische Produkte ${\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ mit ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ enthält.

Alternativ kann man für beliebige Indexmengen die Produkt-σ-Algebra auch als die von den Zylindermengen erzeugte σ-Algebra definieren. Dabei sind die Zylindermengen die Urbilder der Elemente einer σ-Algebra unter der kanonischen Projektion.

• Seien ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})=(\{K,Z\},\{\emptyset ,\{K\},\{Z\},\{K,Z\}\})}$ und ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})=(\{a,b\},\{\emptyset ,\{a,b\}\})}$ zwei Messräume. Dann ist die dazugehörige Produkt-σ-Algebra:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}=\{\emptyset ,\{(K,a),(K,b)\},\{(Z,a),(Z,b)\},\{(K,b),(Z,b),(K,a),(Z,a)\}\}}$

• Die Borelsche σ-Algebra auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist gleich der Produkt-σ-Algebra auf ${\displaystyle ({\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))_{i\in \{1,\dotsc ,n\}}}$, es gilt folglich:

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$

Sie ist die kleinste σ-Algebra, die alle Mengen der Art ${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}\,|\,A_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\}}$ enthält.

• Warnung: Sei ${\displaystyle (E_{i},\tau _{i})_{i\in I}}$ eine abzählbare Familie topologischer Räume, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, und ${\displaystyle (E,\tau )}$ deren topologisches Produkt, dann gilt

${\displaystyle \bigotimes _{i\in I}{\mathcal {B}}(E_{i})\subset {\mathcal {B}}(E).}$

Erfüllen sie jedoch das zweite Abzählbarkeitsaxiom, dann gilt

${\displaystyle \bigotimes _{i\in I}{\mathcal {B}}(E_{i})={\mathcal {B}}(E).}$

Produkt-σ-Algebren sind die Grundlage für die Theorie der Produktmaße, die wiederum die Grundlage für den allgemeinen Satz von Fubini bilden.

Für die Stochastik sind Produkt-σ-Algebren von fundamentaler Bedeutung, um Aussagen über die Existenz von Produkt-Wahrscheinlichkeitsmaßen und Produkt-Wahrscheinlichkeitsräumen zu machen. Diese sind zum einen wichtig, um mehrstufige Zufallsexperimente zu beschreiben, und zum anderen grundlegend für die Theorie stochastischer Prozesse.

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.

1. ↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 39, doi:10.1007/978-3-642-21026-6. 
2. ↑ Patrick Billingsley: Probability and Measure. 3. Auflage. Wiley, New York 1995, ISBN 0-471-00710-2, S. 231. 
3. ↑ Galen R. Shorack: Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). 2. Auflage. Springer, Cham 2017, ISBN 978-3-319-52206-7, S. 25, doi:10.1007/978-3-319-52207-4. 
4. ↑ P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Produktmaß. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 310.