Postnikow-Turm

Ein Postnikow-Turm oder Postnikow-System ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine Methode, einen gegebenen topologischen Raum in Eilenberg-MacLane-Räume zu zerlegen, was zum Beispiel die Berechnung seiner Homologiegruppen mittels Spektralsequenzen ermöglicht.

Definition

Es sei ${\displaystyle X}$ ein gegebener topologischer Raum. Ein Postnikow-Turm von ${\displaystyle X}$ ist eine Folge

${\displaystyle \ldots \to Y_{n}\to Y_{n-1}\to \ldots \to Y_{2}\to Y_{1}}$

von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:

• für alle ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle Y_{n}\to Y_{n-1}}$ eine Faserung
• für alle ${\displaystyle k>n}$ ist ${\displaystyle \pi _{k}Y_{n}=0}$
• für alle ${\displaystyle k\leq n}$ ist ${\displaystyle \pi _{k}Y_{n}=\pi _{k}X}$.

Eigenschaften

• Ein Postnikow-Turm existiert für jeden zusammenhängenden Raum. Für CW-Komplexe ${\displaystyle X}$ sind die Räume im Postnikow-Turm bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt, sonst nur bis auf schwache Homotopieäquivalenz.
• Man erhält ${\displaystyle Y_{n}}$ (bis auf Homotopieäquivalenz) aus ${\displaystyle X}$, indem durch Ankleben von Zellen der Dimensionen ${\displaystyle \geq n+2}$ an ${\displaystyle X}$ die Homotopiegruppen in Graden ${\displaystyle \geq n+1}$ "getötet" werden. (Indem man die Inklusion ${\displaystyle Y_{n+1}\to Y_{n}}$ durch ihren Abbildungskegel ersetzt, erhält man eine Faserung, ohne den Homotopietyp zu ändern.)
• Falls ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex ist, dann ist ${\displaystyle Y_{1}}$ ein Eilenberg-MacLane-Raum ${\displaystyle K(\pi _{1}X,1)}$ und die Faser der Faserung ${\displaystyle Y_{n}\to Y_{n-1}}$ ist ein Eilenberg-MacLane-Raum ${\displaystyle K(\pi _{n}X,n)}$.
• Die Abbildung von ${\displaystyle X}$ in den projektiven Limes ${\displaystyle \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }Y_{n}}$ ist eine schwache Homotopieäquivalenz.
• Falls die Wirkung von ${\displaystyle \pi _{1}X}$ auf ${\displaystyle \pi _{n}X}$ für ${\displaystyle n>1}$ trivial ist, lassen sich die Faserungen ${\displaystyle Y_{n}\to Y_{n-1}}$ als Hauptfaserbündel realisieren.

Siehe auch

• Whitehead-Turm

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X.
• P. Griffiths, J. Morgan: Rational homotopy theory and differential forms. (= Progress in Mathematics. 16). 2. Auflage. Springer, New York 2013, ISBN 978-1-4614-8467-7.
• R. Bott, L. W. Tu: Differential forms in algebraic topology. (= Graduate Texts in Mathematics. 82). Springer-Verlag, New York/ Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4.
• M. M. Postnikow: Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants. In: Doklady Akad. Nauk SSSR. (N.S.) 76, 1951, 359–362. (russisch)

Weblinks

• Killing homotopy groups: Postnikov and Whitehead towers