Portmanteau-Test

Portmanteau-Tests sind statistische Tests, mit deren Hilfe für mehrere Autokorrelationskoeffizienten getestet werden kann, ob sie sich signifikant von null unterscheiden. Dies ist vor allem bei der Prüfung der Autokorrelationsfreiheit der Residuen im Rahmen der Diagnosephase einer Zeitreihenanalyse wichtig.

Portmanteau-Tests sind reine Signifikanztests. Sie testen nicht gegen eine klar formulierte Gegenhypothese.

Die Teststatistik wird Q-Statistik genannt.

Box/Pierce

Die ursprüngliche Version des Tests stammt von Box/Pierce^[1].

Die Hypothesen für diesen Test lauten:

${\displaystyle H_{0}\colon \rho _{1}({\hat {Z_{t}}})=\dots =\rho _{K}({\hat {Z_{t}}})=0\,}$ und

${\displaystyle H_{1}\colon \rho _{l}({\hat {Z_{t}}})\neq 0\,}$ gilt für mindestens ein l.

Dabei ist ${\displaystyle \rho _{l}({\hat {Z_{t}}})}$ die (empirische) Autokorrelation der Reihe ${\displaystyle ({\hat {Z_{t}}})}$ zum Lag (der zeitlichen Verschiebung) ${\displaystyle l}$ und ${\displaystyle K}$ die Anzahl der zu testenden Autokorrelationen.

Die Teststatistik ist hier

${\displaystyle Q_{BP}=T\sum _{l=1}^{K}\rho _{l}^{2}({\hat {Z_{t}}})\,,}$

wobei ${\displaystyle T}$ der Umfang des Datensatzes ist.

Diese Prüfgröße ist unter der Nullhypothese χ²-verteilt mit ${\displaystyle \nu =K-p-q}$ Freiheitsgraden; ${\displaystyle H_{0}}$ kann also verworfen werden, falls

${\displaystyle Q_{BP}>\chi _{\nu ;1-\alpha }^{2}\,.}$

Die Auswahl eines geeigneten Wertes für ${\displaystyle K}$ ist problematisch. Ist ${\displaystyle K}$ zu niedrig, greift die Asymptotik der ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Approximation nicht. Auch ein zu großes ${\displaystyle K}$ hat nicht gewünschte Effekte. Für die Bestimmung von ${\displaystyle K}$ kann folgende Faustregel verwendet werden:

${\displaystyle K\approx {2}{\sqrt {T}}\,.}$

Ljung/Box

Da der Box-Pierce-Test nur bei langen Zeitreihen mit mehr als 100 Zeitreihenwerten zufriedenstellend arbeitet, wird von Ljung/Box^[2] eine abgewandelte Teststatistik herangezogen. Dabei wird T durch T(T+2)/(T-K) ersetzt. Als Teststatistik ergibt sich:

${\displaystyle Q_{LB}=T(T+2)\sum _{l=1}^{K}{\frac {1}{T-l}}\rho _{l}^{2}({\hat {Z_{t}}}).}$

Einzelnachweise

1. ↑ G. E. P. Box, David A. Pierce: Distribution of Residual Autocorrelations in Autoregressive-Integrated Moving Average Time Series Models. In: Journal of the American Statistical Association. Band 65, Nr. 332, Dezember 1970, ISSN 0162-1459, S. 1509–1526, doi:10.1080/01621459.1970.10481180 (tandfonline.com [abgerufen am 2. November 2021]). 
2. ↑ G. M. LJUNG, G. E. P. BOX: On a measure of lack of fit in time series models. In: Biometrika. Band 65, Nr. 2, 1. August 1978, ISSN 0006-3444, S. 297–303, doi:10.1093/biomet/65.2.297.