Polygonzug (Mathematik)

Ein offener Polygonzug

Ein geschlossener Polygonzug

Ein Polygonzug oder Streckenzug ist in der Mathematik die Vereinigung der Verbindungsstrecken einer Folge von Punkten. Polygonzüge werden in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet, etwa in der Geometrie, der Numerik, der Topologie, der Analysis und der Funktionentheorie. Darüber hinaus kommen sie auch in einigen Anwendungsgebieten wie in der Computergrafik oder der Geodäsie zum Einsatz.^{[1][2][3][4][5][6]}

Polygonzüge in der Geometrie

Definition

Sind ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{m}}$ Punkte in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum, dann heißt die Vereinigung der Strecken

${\displaystyle [P_{1}P_{2}]\cup [P_{2}P_{3}]\cup \cdots \cup [P_{m-1}P_{m}]}$

Streckenzug oder Polygonzug von ${\displaystyle P_{1}}$ nach ${\displaystyle P_{m}}$. Fallen ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{m}}$ zusammen, spricht man von einem geschlossenen Polygonzug, ansonsten von einem offenen Polygonzug.^[7]

Bezug zu Polygonen

Die geometrische Figur, deren Rand von einem geschlossenen Polygonzug gebildet wird, heißt Polygon, die Punkte ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m-1}}$ heißen Eckpunkte des Polygons und die Strecken ${\displaystyle [P_{1}P_{2}],\ldots ,[P_{m-1}P_{m}]}$ heißen Seiten des Polygons. Liegen die Punkte in einer Ebene, so nennt man diese Figur ein ebenes Polygon, andernfalls ein windschiefes Polygon.

Verwendung

Polygonzüge besitzen vielfältige Einsatzmöglichkeiten, beispielsweise bei der Interpolation von Datenpunkten, bei der numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit dem eulerschen Polygonzugverfahren sowie bei der Modellierung in der Computergrafik und im Computer-Aided Design. Zur Anwendung von Polygonzügen im Vermessungswesen siehe Polygonzug (Geodäsie).

Polygonzüge in der Analysis

Definition

Sei nun allgemein ${\displaystyle V}$ ein reeller Vektorraum und seien ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}\in V}$ gegebene Elemente des Vektorraums, dann heißt die Vereinigung

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\bigcup _{i=1}^{m-1}[x_{i}x_{i+1}]}$

der Strecken

${\displaystyle [x_{i}x_{i+1}]=\{(1-\lambda )x_{i}+\lambda x_{i+1}\mid \lambda \in [0,1]\}}$

Streckenzug oder Polygonzug von ${\displaystyle x_{1}}$ nach ${\displaystyle x_{m}}$. Ist ${\displaystyle V}$ ein topologischer Vektorraum, dann sind diese Strecken stetige Bilder des Einheitsintervalls und damit kompakt, was dann auch für die aus ihnen gebildeten endlichen Vereinigungen gilt. Jeder Streckenzug ist stets auch Beispiel eines Kontinuums.^[8]

Rektifizierbarkeit

Polygonzüge spielen eine wesentliche Rolle für die Längenmessung von Kurven im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum.^{[9][10][11][12]}

Eine Länge ist allein erklärt für rektifizierbare Kurven. Zum Nachweis der Rektifizierbarkeit betrachtet man für eine gegebene Kurve ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ alle Polygonzüge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ von ${\displaystyle x_{1}}$ nach ${\displaystyle x_{\text{ende}}}$, durch deren Ecken ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}=x_{\text{ende}}}$ die Kurve in dieser Reihenfolge verläuft, welche also so beschaffen sind, dass die Seiten des von den Ecken gebildeten Polygons zugleich Sehnen von ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ darstellen. Ein derartiger Polygonzug wird auch als Sehnenzug oder als Sehnenpolygon bezeichnet und man sagt, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ einbeschrieben. Zur Feststellung der Rektifizierbarkeit von ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ zwischen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{\text{ende}}}$ werden die Längen aller einbeschriebenen Sehnenpolygone untersucht. Dabei versteht man unter der Länge eines Polygonzugs die Summe der Längen seiner Strecken.

Wenn für all diese Längen innerhalb ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eine obere Schranke existiert, dann ist ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ eine rektifizierbare Kurve, und zwar nur dann. In diesem Falle wird die Länge ${\displaystyle L({\mathcal {K}})}$ als das Supremum aller Längen einbeschriebener Sehnenpolygone definiert (alles für den Kurvenabschnitt ${\displaystyle x_{1}}$ bis ${\displaystyle x_{\text{ende}}}$). Für die Feststellung der Rektifizierbarkeit von Kurven gilt folgendes Kriterium:

Eine Kurve im ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ mit der stetigen Parametrisierung ${\displaystyle \gamma =({\gamma }_{1},\dots ,{\gamma }_{n})\colon I\to {\mathbb {R} }^{n}}$   ${\displaystyle (I=[a,b]\subset \mathbb {R} )}$ ist genau dann rektifizierbar, wenn die Koordinatenfunktionen ${\displaystyle {\gamma }_{1},\dots ,{\gamma }_{n}}$ von beschränkter Variation sind.

Zusammenhang mit der Gebietseigenschaft

Die Polygonzüge spielen ebenfalls eine Rolle für die Feststellung, wann im Raum ein Gebiet vorliegt und wann nicht. Hier gilt der folgende Satz:

Eine offene Teilmenge ${\displaystyle G}$ eines topologischen Vektorraums (und insbesondere des ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raums) ist genau dann zusammenhängend, wenn sich je zwei Punkte von ${\displaystyle G}$ durch einen ganz in ${\displaystyle G}$ liegenden Polygonzug verbinden lassen.^[13]

Siehe auch

• Simplex
• Weg (Mathematik)
• Polyeder

Literatur

• Michael Henle: A Combinatorial Introduction to Topology (= A Series of Books in Mathematical Sciences). W. H. Freeman and Company, San Francisco 1979, ISBN 0-7167-0083-2. 
• Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 3. Band: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967. 
• György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]). 
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Grundwissen Mathematik (Springer-Lehrbuch)). 6., korrigierte Auflage. Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9. 
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2 (= Mathematische Leitfäden). 5., durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0. 
• Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 39). Marcel Dekker, New York / Basel 1977, ISBN 0-8247-6331-9. 
• Rudolf Bereis: Darstellende Geometrie I (= Mathematische Lehrbücher und Monographien. Band 11). Akademie-Verlag, Berlin 1964. 
• Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 2. Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1968. 
• Konrad Knopp: Funktionentheorie I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (= Sammlung Göschen. Band 668). Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1965. 

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 22–23. 
2. ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2 (= Mathematische Leitfäden). 5., durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 349 ff. 
3. ↑ Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 2. Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1968, S. 296 ff. 
4. ↑ Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 39). Marcel Dekker, New York / Basel 1977, ISBN 0-8247-6331-9, S. 63–64. 
5. ↑ Rudolf Bereis: Darstellende Geometrie I (= Mathematische Lehrbücher und Monographien. Band 11). Akademie-Verlag, Berlin 1964, S. 117 ff. 
6. ↑ György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig, S. 32 ff. (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]). 
7. ↑ In der Regel wird der Grenzfall, dass ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ nur aus einer einzigen Strecke oder gar nur aus einem einzigen Punkt besteht, ausgeschlossen. Polygonzüge bestehen also in der Regel aus mindestens zwei Strecken.
8. ↑ Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 3. Band: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967, S. 306–307. 
9. ↑ Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 2. Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1968, S. 415 ff. 
10. ↑ Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. 13. Auflage. 3. Band: Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967, S. 224 ff. 
11. ↑ Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Grundwissen Mathematik (Springer-Lehrbuch)). 6., korrigierte Auflage. Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 78, 308 ff. 
12. ↑ Konrad Knopp: Funktionentheorie I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen (= Sammlung Göschen. Band 668). Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1965, S. 22–23. 
13. ↑ Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 150.