Poincaré-Abbildung

Illustration der Wiederkehr einer Trajektorie nach ${\displaystyle S}$.

Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche ${\displaystyle \Sigma }$, dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte ${\displaystyle x}$ den jeweils nächsten ${\displaystyle P(x)}$ zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamisches System.

Beispiel

Poincaré-Schnitt für eine periodische Trajektorie ${\displaystyle \gamma }$

Betrachte die Differentialgleichung ${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t))}$ und bezeichne mit ${\displaystyle \Phi (t,x)}$ den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung ${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$. Angenommen, es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung ${\displaystyle \Phi (t,p)}$, die bei ${\displaystyle p}$ startet und nach einer bestimmten Zeit ${\displaystyle \tau }$ wieder dorthin zurückkehrt, ${\displaystyle \Phi (\tau ,p)=p}$. Dann kann man eine Fläche ${\displaystyle \Sigma }$ wählen, die transversal zur Trajektorie ${\displaystyle \Phi (t,p)}$ ist und diese in ${\displaystyle p}$ schneidet. Alle Trajektorien, die in Punkten ${\displaystyle x\in \Sigma }$ in der Nähe von ${\displaystyle p}$ starten, werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit ${\displaystyle \tau (x)>0}$, für die ${\displaystyle \Phi (\tau (x),x)\in \Sigma }$ gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch ${\displaystyle P(x)=\Phi (\tau (x),x)}$. Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt: ${\displaystyle P(p)=p}$. Die Frage, ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage, ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.

Anwendung

Die Poincaré-Abbildung ist besonders zur Untersuchung der geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, da die zeitliche Diskretisierung eine wesentliche Vereinfachung darstellt.^[1]

In der Kardiologie findet die Darstellung bei der Auswertung eines Langzeit-EKGs Verwendung. Durch Anwendung auf die Abstände zwischen den jeweiligen Herzschlägen kann auf Herzrhythmusstörungen wie Vorhofflimmern rückgeschlossen werden.

Eine weitere Anwendung findet sich in der Stressforschung: hier lassen sich aus den Poincaré-Abbildungen mit den beiden orthogonal aufeinander stehenden Durchmessern SD1 und SD2 die parasympathischen und sympathischen Einflüsse auf die Herzfrequenz ablesen (Herzfrequenzvariabilität).

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0. 
• D. V. Anosov: Poincaré return map. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at). 

Einzelnachweise

1. ↑ Manfred von Ardenne et al.: Effekte der Physik und ihre Anwendungen. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt 2005. ISBN 3-8171-1682-9, S. 1130