Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion , die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.[1] [2]
Definition Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:
( x , n ) ≡ Γ ( x + n ) Γ ( x ) {\displaystyle (x,n)\equiv {\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}} Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann
( x , n ) ≡ x ( x + 1 ) ⋯ ( x + n − 1 ) {\displaystyle (x,n)\equiv x(x+1)\dotsm (x+n-1)} Man hat also eine Identität
( x , n ) = x n ¯ {\displaystyle (x,n)=x^{\overline {n}}} mit der steigenden Faktoriellen .
Erläuterungen Das Pochhammer-Symbol wird auch als ( x ) n {\displaystyle (x)_{n}}
( x 1 , … , x r ) n := ∏ i = 1 r ( x i ) n . {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{r})_{n}:=\prod \limits _{i=1}^{r}(x_{i})_{n}.} Eigenschaften Funktionsgraphen der ersten vier Pochhammer-SymboleDas Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion . Ist n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ( x , n ) {\displaystyle (x,n)} x {\displaystyle x} x = 0 {\displaystyle x=0} Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen : ( x , − n ) = ( − 1 ) n 1 ( 1 − x , n ) {\displaystyle (x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}} Divisionsregel:( x , n ) ( x , m ) = ( x + m , n − m ) ; n > m {\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}=(x+m,n-m);\quad n>m} ( x , n ) ( x , m ) = 1 ( x + m , m − n ) ; m > n {\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\frac {1}{(x+m,m-n)}};\quad m>n} Spezielle Werte:( 1 , n ) = n ! {\displaystyle (1,n)=n!} ( 1 2 , n ) = 2 − n ( 2 n − 1 ) ! ! {\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},n)=2^{-n}(2n-1)!!} ( 0 , 0 ) = 1 {\displaystyle (0,0)=1} Weitere Identitäten:( x , N − k ) = ( x , N ) ( − 1 ) k ( − x − N + 1 , k ) {\displaystyle (x,N-k)={\frac {(x,N)(-1)^{k}}{(-x-N+1,k)}}} ( x , m ) ( x + m , n ) = ( x , m + n ) {\displaystyle (x,m)(x+m,n)=(x,m+n)} q -Pochhammer-SymbolBegrenztes q -Pochhammer-Symbol Das q {\displaystyle q} [3] q {\displaystyle q} q {\displaystyle q} q {\displaystyle q}
lim q → 1 1 − q n 1 − q = n {\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n} über folgende Formel definiert:
[ n ] q = 1 − q n 1 − q = 1 + q + q 2 + ⋯ + q n − 1 {\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n-1}} Das q {\displaystyle q} formale Potenzreihe in der Variablen q {\displaystyle q}
( a ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) {\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dotsm (1-aq^{n-1})} mit der Zusatzbedingung:
( a ; q ) 0 = 1 {\displaystyle (a;q)_{0}=1} Sie werden auch q {\displaystyle q} ( a ; q ) n {\displaystyle (a;q)_{n}} ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} ( q ; q ) n = ( q ) n = ∏ k = 1 n ( 1 − q k ) = ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q n ) {\displaystyle (q;q)_{n}=(q)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(1-q^{k})=(1-q)(1-q^{2})\dotsm (1-q^{n})}
Der Buchstabe q wird deswegen in den Formeln verwendet, weil er das elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße darstellt.
Unendliches q -Pochhammer-Symbol Das q {\displaystyle q}
( a ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) {\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})} Der Spezialfall
ϕ ( q ) = ( q ; q ) ∞ = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − q k ) {\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})} wird als Eulersches Produkt[4]
Das elliptische Nomen als Funktion stellt den Zusammenhang zu den vollständigen elliptischen Integralen erster Art her:
[ q ( ε ) ; q ( ε ) ] ∞ = 2 1 / 3 | ε | 1 / 12 ( 1 − ε 2 ) 1 / 6 q ( ε ) − 1 / 24 π − 1 / 2 K ( ε ) 1 / 2 {\displaystyle [q(\varepsilon );q(\varepsilon )]_{\infty }=2^{1/3}|\varepsilon |^{1/12}(1-\varepsilon ^{2})^{1/6}q(\varepsilon )^{-1/24}\pi ^{-1/2}K(\varepsilon )^{1/2}} [ q ( ε ) 2 ; q ( ε ) 2 ] ∞ = | sin [ 2 arcsin ( ε ) ] | 1 / 6 q ( ε ) − 1 / 12 π − 1 / 2 K ( ε ) 1 / 2 {\displaystyle [q(\varepsilon )^{2};q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }=|\sin[2\arcsin(\varepsilon )]|^{1/6}q(\varepsilon )^{-1/12}\pi ^{-1/2}K(\varepsilon )^{1/2}} [ q ( ε ) ; q ( ε ) 2 ] ∞ = 2 1 / 4 | cot [ 2 arctan ( ε ) ] | 1 / 12 q ( ε ) 1 / 24 {\displaystyle [q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }=2^{1/4}|\cot[2\arctan(\varepsilon )]|^{1/12}q(\varepsilon )^{1/24}} q ( ε ) = exp [ − π K ( 1 − ε 2 ) K ( ε ) − 1 ] {\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]} K ( w ) = ∫ 0 π / 2 [ 1 − w 2 sin ( α ) 2 ] − 1 / 2 d α {\displaystyle K(w)=\int _{0}^{\pi /2}[1-w^{2}\sin(\alpha )^{2}]^{-1/2}\,\mathrm {d} \alpha } Partitionszahlenfolge und Pentagonalzahlensatz Das Eulersche Pochhammer-Produkt spielt in der Theorie der Partitionsfunktion eine entscheidende Rolle.
Denn die Maclaurinsche Reihe für den Kehrwert des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen[5]
( x ; x ) ∞ − 1 = ∑ k = 0 ∞ P ( k ) x k {\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}} Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.
Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten:
( x ; x ) ∞ = ∑ k = 0 ∞ [ x K ( 2 k ) − x F ( 2 k + 1 ) − x K ( 2 k + 1 ) + x F ( 2 k + 2 ) ] {\displaystyle (x;x)_{\infty }=\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl [}x^{K(2k)}-x^{F(2k+1)}-x^{K(2k+1)}+x^{F(2k+2)}{\bigr ]}} Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:
F ( n ) = 1 2 n ( 3 n − 1 ) {\displaystyle F(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)} K ( n ) = 1 2 n ( 3 n + 1 ) {\displaystyle K(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n+1)} Diese Tatsache[6] Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler.
Thetafunktion und Psifunktion Das Eulersche Produkt[7] Thetafunktion und der Ramanujanschen Psifunktion ausgedrückt werden:
( x ; x ) ∞ = ϑ 00 ( x ) 1 / 6 ϑ 01 ( x ) 2 / 3 [ ϑ 00 ( x ) 4 − ϑ 01 ( x ) 4 16 x ] 1 / 24 = ψ R ( x 2 ) ϑ 00 ( x ) ϑ 01 ( x ) 4 6 {\displaystyle (x;x)_{\infty }=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}={\sqrt[{6}]{\psi _{R}(x^{2})\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}}} Speziell für positive x-Werte gilt außerdem:
( x ; x ) ∞ = 3 − 1 / 2 x − 1 / 24 ϑ 10 ( 1 6 π ; x 1 / 6 ) = 2 − 1 / 6 x − 1 / 24 ϑ 10 ( x ) 1 / 6 ϑ 00 ( x ) 1 / 6 ϑ 01 ( x ) 2 / 3 {\displaystyle (x;x)_{\infty }=3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi ;x^{1/6})=2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}} Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckte folgende Beziehung[8]
( x ; x 2 ) ∞ = ψ R ( x 2 ) − 1 ϑ 00 ( x ) − 1 ϑ 01 ( x ) 2 6 = 2 1 / 6 x 1 / 24 ϑ 10 ( x ) − 1 / 6 ϑ 00 ( x ) − 1 / 6 ϑ 01 ( x ) 1 / 3 {\displaystyle (x;x^{2})_{\infty }={\sqrt[{6}]{\psi _{R}(x^{2})^{-1}\vartheta _{00}(x)^{-1}\vartheta _{01}(x)^{2}}}=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{1/3}} Sie finden sich in seinem Aufsatz Modular Equations and Approximations to π . Aus den beiden zuletzt genannten Formeln folgt:
( x ; x ) ∞ ( x ; x 2 ) ∞ = ϑ 01 ( x ) {\displaystyle (x;x)_{\infty }(x;x^{2})_{\infty }=\vartheta _{01}(x)} Für die Thetafunktionen dienen diese Formeln zur Definition:
ϑ 01 ( x ) = 1 − 2 ∑ n = 1 ∞ [ x ◻ ( 2 n − 1 ) − x ◻ ( 2 n ) ] = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n ) ( 1 − x 2 n − 1 ) 2 {\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}x^{\Box (2n-1)}-x^{\Box (2n)}{\bigr ]}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}} ϑ 00 ( x ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ x ◻ ( n ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n ) ( 1 + x 2 n − 1 ) 2 {\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}} ϑ 10 ( x ) = 2 x 1 / 4 + 2 x 1 / 4 ∑ n = 1 ∞ x 2 △ ( n ) = 2 x 1 / 4 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n ) ( 1 + x 2 n ) 2 {\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}} Die Ramanujansche Ψ-Funktion ψ R ( x ) {\displaystyle \psi _{R}(x)}
ψ R ( x ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ x △ ( n ) {\displaystyle \psi _{R}(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }x^{\bigtriangleup (n)}} Rogers-Ramanujan-Kettenbruch Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) dargestellt werden:
R ( x ) = x 1 / 5 [ 1 + ∑ n = 1 ∞ x 2 △ ( n ) ( x ; x ) n ] [ 1 + ∑ n = 1 ∞ x ◻ ( n ) ( x ; x ) n ] − 1 = x 1 / 5 ( x ; x 5 ) ∞ ( x 4 ; x 5 ) ∞ ( x 2 ; x 5 ) ∞ ( x 3 ; x 5 ) ∞ = {\displaystyle R(x)=x^{1/5}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2\bigtriangleup (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{\Box (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}^{-1}=x^{1/5}{\frac {(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=} = tan ⟨ 1 2 arccot { ϑ 01 ( x 1 / 5 ) [ 5 ϑ 01 ( x 5 ) 2 − ϑ 01 ( x ) 2 ] 2 ϑ 01 ( x 5 ) [ ϑ 01 ( x ) 2 − ϑ 01 ( x 1 / 5 ) 2 ] + 1 2 } ⟩ = {\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=} = tan ⟨ 1 2 arccot { 1 2 [ ϑ 00 ( x 1 / 10 ) ϑ 01 ( x 1 / 10 ) ϑ 10 ( x 1 / 10 ) ϑ 00 ( x 5 / 2 ) ϑ 01 ( x 5 / 2 ) ϑ 10 ( x 5 / 2 ) ] 1 / 3 + 1 2 } ⟩ = {\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/10})\vartheta _{01}(x^{1/10})\vartheta _{10}(x^{1/10})}{\vartheta _{00}(x^{5/2})\vartheta _{01}(x^{5/2})\vartheta _{10}(x^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=} = tan { 1 2 arctan [ 1 2 − ϑ 01 ( x ) 2 2 ϑ 01 ( x 5 ) 2 ] } 1 / 5 tan { 1 2 arccot [ 1 2 − ϑ 01 ( x ) 2 2 ϑ 01 ( x 5 ) 2 ] } 2 / 5 = {\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}=} = tan { 1 2 arctan [ 1 2 − ϑ 01 ( x 1 / 2 ) 2 2 ϑ 01 ( x 5 / 2 ) 2 ] } 2 / 5 cot { 1 2 arccot [ 1 2 − ϑ 01 ( x 1 / 2 ) 2 2 ϑ 01 ( x 5 / 2 ) 2 ] } 1 / 5 {\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}} In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die Rogers-Ramanujan-Identitäten repräsentiert.
Dabei wurden für eine kompaktere Darstellung die Abkürzungen verwendet:
△ ( n ) = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle \bigtriangleup (n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)} ◻ ( n ) = n 2 {\displaystyle \Box \,(n)=n^{2}} Einzelnachweise ↑ L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten .( x ) n {\displaystyle (x)_{n}} [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} [ x ] n + {\displaystyle [x]_{n}^{+}} ↑ Eric W. Weisstein: Pochhammer Symbol. MathWorld . Abgerufen am 9. Februar 2019 (englisch). ↑ Eric W. Weisstein: q -Pochhammer Symbol.MathWorld . Abgerufen am 9. Februar 2019 (englisch). ↑ Eulersches Partitionsprodukt. Im Englischen auch Euler function , doch ist dieser Begriff mehrdeutig. ↑ 3.3 Partitions of Integers. Abgerufen am 30. August 2021 . ↑ Eric W. Weisstein: Pentagonal Number Theorem. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch). ↑ Eric W. Weisstein: q-Pochhammer Symbol. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch). ↑ Eric W. Weisstein: Ramanujan g- and G-Functions. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch). 