Phasengeschwindigkeit

Der rote Punkt ist immer am Punkt gleicher Phase (Wellenberg) und bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit der blauen, monochromatischen Welle.
Ein Wellenpaket breitet sich in einem nicht-dispersiven Medium aus (z. B. eine elektromagnetische Welle im Vakuum).
Ein Wellenpaket breitet sich in einem dispersiven Medium aus.

Die Phasengeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher Phasen einer monochromatischen Welle.[1]

In dispersiven Medien breiten sich Wellen unterschiedlicher Frequenz mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten aus. Bei der Ausbreitung von Wellenpaketen (also der Summe mehrerer überlagerter monochromatischer Wellen) in dispersiven Medien sind folglich auch die Phasendifferenzen zwischen einzelnen Komponenten nicht konstant, sondern zeitabhängig: Die Form des Wellenpaktes ändert sich (es „zerfließt“).

In der oberen Abbildung bewegt sich der rote Punkt mit der Phasengeschwindigkeit. Die zweite Abbildung zeigt ein Wellenpaket, dessen Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten ist. In der dritten Abbildung sind die Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten unterschiedlich.

Die Phasengeschwindigkeit berechnet sich aus der Wellenlänge (die Strecke, die zurückgelegt wird) und der Periodendauer (die Zeit, die dafür benötigt wird) zu

Aufgrund der Definitionen von Frequenz , Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl ergibt sich die äquivalente Darstellung

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die Obergrenze für die Übertragungsgeschwindigkeit von Energie und Information. Jedoch gibt es zahlreiche Fälle, in denen Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit auftreten. Beispiele sind Materiewellen und Wellen in Hohlleitern.

Die grünen Punkte bewegen sich mit Gruppengeschwindigkeit, der rote mit Phasengeschwindigkeit.

Zusammenhang mit Gruppengeschwindigkeit und Dispersion

BezeichnungSymbolBeziehungen
Amplitude
Transversalwelle
Longitudinalwelle
WellenvektorAusbreitungsrichtung
Kreiswellenzahl
Wellenlänge
Kreisfrequenz Dispersionsrelation
Frequenz
Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
Phasenwinkel

Zur mathematischen Beschreibung einer Welle in einem speziellen Medium benötigt man ihre Wellenform, Amplitude, Frequenz, Phasenwinkel und die zugehörige Wellengleichung – gegebenenfalls mit Randbedingungen. Einer so eindeutig definierten Welle können trotzdem verschiedene Geschwindigkeiten zugeordnet werden, die nicht mit der Phasengeschwindigkeit verwechselt werden sollten.

Die Geschwindigkeit, mit der eine Welle Energie oder Informationen überträgt, ist die Signalgeschwindigkeit. Diese ist für ein verlustfreies Medium gleich der Gruppengeschwindigkeit, also der Geschwindigkeit eines Wellenpaketes. Ein solches Wellenpaket ist aus monochromatischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen zusammengesetzt. Jede dieser monochromatischen Wellen hat eine eigene Phasengeschwindigkeit:

.

Der funktionale Zusammenhang zwischen Phasengeschwindigkeit und Frequenz wird als Dispersion bezeichnet.

Für elektromagnetische Wellen ist die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit im Vakuum gleich der Lichtgeschwindigkeit , d. h., das Vakuum ist nicht dispersiv. In Materie ist die Phasengeschwindigkeit dagegen im Allgemeinen abhängig von der Frequenz. Aufgrund der Beziehung für den Brechungsindex wird hier die Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex als Dispersion bezeichnet.

Beispiele

Körperschall

Lambmoden für zwei verschiedene Materialien mit Poissonzahl
(z. B. Titan) und (z. B. Stahl)

In Festkörpern können sich Schallwellen als Körperschall ausbreiten. Die Phasengeschwindigkeiten sind dabei je nach Wellentyp verschieden. Beispielsweise beträgt die Phasengeschwindigkeit der Longitudinalwelle bei Raumtemperatur in Edelstahl etwa 5980 m/s; die Phasengeschwindigkeit der Transversalwelle ist um etwa den Faktor 1,8 kleiner: ca. 3300 m/s. In dünnen Platten existieren noch weitere Wellentypen, sogenannte Lambwellen. Im nebenstehenden Bild entspricht jeder Ast einem Lambwellentyp (Mode). Vertikal ist die Phasengeschwindigkeit in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit dargestellt, horizontal die Frequenz als Produkt von Kreisfrequenz und Plattendicke in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit. Die höheren Moden existieren erst ab bestimmten Mindestfrequenzen und breiten sich dann mit sehr hohen Phasengeschwindigkeiten aus. Die -Mode hat für kleine Frequenzen eine verschwindende Phasengeschwindigkeit.

Materiewelle

Gemäß dem Welle-Teilchen-Dualismus kann man einem Teilchen, z. B. einem Elektron mit der Energie und dem Impuls , eine Wellenlänge zuordnen und somit eine Phasengeschwindigkeit

.

Mit Einsteins Formel

oder in der Formulierung mit dem Lorentzfaktor

und der Definition des relativistischen Impulses folgt

Hier ist die Lichtgeschwindigkeit, die höchste Geschwindigkeit, mit der sich Energie oder Informationen ausbreiten können. Die Gruppengeschwindigkeit ist die Teilchengeschwindigkeit,[2] die immer kleiner als ist. Daher ist

.

Die de Broglie-Phasengeschwindigkeit ist also immer größer als die Lichtgeschwindigkeit.[3] Diese sog. superluminale Geschwindigkeit von Materiewellen widerspricht nicht der Relativitätstheorie, da die Signalgeschwindigkeit ist.

Hohlleiter

Auch elektromagnetische Wellen in normalen, zur Leistungsübertragung genutzten Hohlleitern bewegen sich mit Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit.[4] Im Wanderwellenbeschleuniger muss die Phasengeschwindigkeit künstlich durch regelmäßig angeordnete leitfähige Blenden auf Werte unterhalb der Lichtgeschwindigkeit verringert werden.

Literatur

  • DIN 1311, Blatt 1: Schwingungen und schwingungsfähige Systeme. Teil 1: Grundbegriffe, Einteilung. Ausgabe 2000–2002.

Einzelnachweise

  1. Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure. Hrsg.: Dietrich Pelte. 2. Auflage. Spektrum akademischer Verlag, 2007, ISBN 978-3-8274-1164-8.
  2. Gunnar Lindström, Rudolf Langkau, Wolfgang Scobel: Physik kompakt 3: Quantenphysik und Statistische Physik. Springer, 2013, ISBN 3-642-56017-2, S. 54 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3. Atome, Moleküle und Festkörper. Springer DE, 2010, ISBN 978-3-642-03911-9, S. 97 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Peter Schmüser: Theoretische Physik Für Studierende Des Lehramts 1: Quantenmechanik. Springer DE, 2012, ISBN 978-3-642-25395-9, S. 125 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Auf dieser Seite verwendete Medien

Wave packet (no dispersion).gif

Propagation of a wave packet in a non-dispersive medium. We can see there is no difference between phase velocity and group velocity. Made by myself.

See also Image:Wave_packet_(dispersion).gif.
Wave group.gif
Autor/Urheber: Kraaiennest, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Frequency dispersion of surface gravity waves on deep water. The red square moves with the phase velocity, and the green circles propagate with the group velocity. In this deep-water case, the phase velocity is twice the group velocity. The red square overtakes two green circles, when moving from the left to the right of the figure.
Sym asym sigma0.27 und 0.34 edited2.svg
Autor/Urheber: Svebert, Lizenz: CC BY 3.0
Free plate wave (Lamb wave) dispersion curves (symmetric S and asymmetric A) for two different poisson's ratios (sigma=0,27 e.g. steel and sigma 0,34 e.g. titan and aluminium)
  • The y axis shows the phase velocity v normalized to the shear velocity v_s
  • The x axis shows the product of angular frequency omega and plate thickness d normalized to the shear velocity v_s

To reproduce these curves find the roots of the following 2 equations:

  • Symmetric lamb waves:
  • Asymmetric lamb waves:

With and and . Here denotes the compression wave velocity (longitudinal wave velocity) and is connected via the poission ratio to the shear wave velocity :

Please refer to the following books:

  • Brekhovskikh: Waves in layered media in Applied Mathematics and Mechanics, 16 (1980), p. 60ff
  • Joseph L. Rose: Ultrasonic Waves in Solid Media, Cambridge University Press, 2004, p. 110


It is not straight forward to compute these curves. These curves where calculate with help of the pyhton-package scipy.optimize and especially the function fsolve and the numerical continuation tool AUTO07p.

For a certain value (here 20) of all roots were computed with fsolve. These ”starting roots“ then were plugged in AUTO07p and the tool ”continued“ the branches to the left. All branches except the S0 and A0 end in a limit point (these modes have ”cut off“ frequencies).
Wave phase.gif
Autor/Urheber: Kraaiennest, Lizenz: CC BY-SA 3.0
Phase velocity in surface gravity waves on deep water. The red dot moves with the phase velocity.
Wave packet (dispersion).gif

Propagation of a wave packet in a dispersive medium. We can see the difference between phase velocity and group velocity. Made by myself.

See also Image:Wave packet (no dispersion).gif.