Petrus Hispanus

Petrus Hispanus ist ein bedeutender Logiker des 13. Jahrhunderts. Er verfasste um 1240 zwölf Traktate, die später unter dem Titel „Summulae logicales“ tradiert wurden. Sie stellen die populärste mittelalterliche Einführung in die Logik dar mit einer langen Wirkungsgeschichte.

Autorschaft

Traditionell wird der Logiker Petrus Hispanus mit dem portugiesischen Mediziner Petrus Hispanus (1205–1277) identifiziert, der in seinem letzten Lebensjahr zum Papst Johannes XXI. ernannt wurde.[1] Dies ist aber nicht gesichert. Als alternative Autoren der Summulae logicales werden auch verschiedene Dominikaner diskutiert.[2] Eine griechische Vorlage von Michael Psellos gibt es nicht; ihm wurde eine spätere Rückübersetzung der Traktate von Petrus Hispanus ins Griechische unterschoben.[3] Die Syllogistik nach Petrus Hispanus deckt sich weitgehend mit derjenigen von William of Sherwood; die Datierung ihrer Schriften wird unterschiedlich eingeschätzt, so dass die Priorität nicht eindeutig ermittelt werden kann.[4] Die einprägsame Darstellung der aristotelischen Logik für den scholastischen Unterricht erreichte aber über Petrus Hispanus erst Popularität. Schon in Dantes Göttlicher Komödie wurde er unter den Weisheitslehrern im Sonnenhimmel des Paradiso gerühmt als Pietro Ispano lo qual già luce in dodici libelli (Petrus Hispanus, dessen Licht schon in den zwölf Büchlein leuchtet).[5] Seine Summulae logicales wurde immer wieder aufgelegt und kommentiert und waren bis ins 17. Jahrhundert an Universitäten verbreitet. Die darin enthaltene Codierung der aristotelischen Syllogistik wird noch heute gebraucht.

Mnemotechnische Syllogistik

Petrus Hispanus referierte im vierten Traktat die assertorische Syllogistik des Aristoteles und ergänzte eine Mnemotechnik. Er übersetzte die aristotelischen Sätze in eine verständliche Sprache und kürzte sie symbolisch ab. Die Übersetzung tastet den logischen Gehalt der originalen Syllogistik nicht an. Daher besteht der logische Fortschritt nur in der Codierung, die einem Kalkül nahekommt und einen mnemotechnischen Zweck hat. Letzterer konzentriert sich in einem Merkgedicht, das 19 aristotelische Syllogismen aufzählt und mit Namen benennt:

Barbara Celarent Darii Ferio Baralipton
Celantes Dabitis Fapesmo Frisesomorum
Cesare Cambestres Festino Barocho Darapti
Felapto Disamis Datisi Bocardo Ferison[6][4]

Codierung der Aussagen

Petrus Hispanus zog den Originalaussagen aus der Analytik die älteren verständlicheren kategorischen Aussagen mit vertauschten Termen vor und kürzte sie durch Vokalcodes ab, so dass sie leicht in Formeln übersetzt werden können:

Code[6]Namenkategorische Aussagen[7]FormelnAussagen der Analytik[8]
auniversell affirmativomnis A est BJedes A ist ein BAaBB kommt jedem A zu
euniversell negativnullus A est BKein A ist ein BAeBB kommt keinem A zu
ipartikulär affirmativquidam A est BIrgendein A ist ein BAiBB kommt irgendeinem A zu
opartikulär negativquidam A non est BIrgendein A ist kein BAoBB kommt irgendeinem A nicht zu

Codierung der Syllogismen

Die aristotelischen Syllogismen werden hier schematisch notiert: Prämisse 1, Prämisse 2 → Konklusion. Petrus Hispanus nannte die erste Prämisse major und die zweite minor und schrieb sie vertikal übereinander. Aristoteles teilte die Syllogismen in drei Figuren ein, die sich in der Stellung des Oberterms A in Prämisse 1, des Mittelterms B in beiden Prämissen und des Unterterms C in Prämisse 2 unterscheiden. Syllogismen mit konvertierter Konklusion reichte Aristoteles nach, zählte sie aber nicht zur ersten Figur,[9] wie es Petrus Hispanus tat (Tabelle Figur 1a). Da dieser auch die Terme vertauschte, sehen seine Figuren anders aus als im Original: Dort wäre AaB die Originalaussage "A kommt jedem B zu" und der erste Syllogismus wäre das Transitivgesetz AaB, BaC → AaC; diese Urform verschwindet in der Darstellung mit vertauschten Termen. Alle Syllogismen sind also äußerlich umgeschrieben. Die ersten drei Vokale ihrer Merknamen nennen jeweils die vorkommenden Aussageformen der Reihe nach (in der Tabelle fettgedruckt).

FigurSyllogismusMerknameBeispiel des Petrus Hispanus[10]
Figur 1[11]
BxA, CyB → CzA
BaA, CaB → CaABarbaraJedes Lebewesen ist ein Wesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Jeder Mensch ist ein Wesen
BeA, CaB → CeACelarentKein Lebewesen ist ein Stein
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Kein Mensch ist ein Stein
BaA, CiB → CiADariiJedes Lebewesen ist ein Wesen
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Mensch ist ein Wesen
BeA, CiB → CoAFerioKein Lebewesen ist ein Stein
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Mensch ist kein Stein
Figur 1a[9]
BxA, CyB → AzC
BaA, CaB → AiCBaraliptonJedes Lebewesen ist ein Wesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Wesen ist ein Mensch
BeA, CaB → AeCCelantesKein Lebewesen ist ein Stein
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Kein Stein ist ein Mensch
BaA, CiB → AiCDabitisJedes Lebewesen ist ein Wesen
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Wesen ist ein Mensch
BaA, CeB → AoCFapesmoJedes Lebewesen ist ein Wesen
Kein Stein ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Wesen ist kein Stein
BiA, CeB → AoCFrisesomorumIrgendein Lebewesen ist ein Wesen
Kein Stein ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Wesen ist kein Stein
Figur 2[12]
AxB, CyB → CzA
AeB, CaB → CeACesareKein Stein ist ein Lebewesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Kein Mensch ist ein Stein
AaB, CeB → CeACambestresJeder Mensch ist ein Lebewesen
Kein Stein ist ein Lebewesen
Also: Kein Stein ist ein Mensch
AeB, CiB → CoAFestinoKein Stein ist ein Lebewesen
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Mensch ist kein Stein
AaB, CoB → CoABarochoJeder Mensch ist ein Lebewesen
Irgendein Stein ist kein Lebewesen
Also: Irgendein Stein ist kein Mensch
Figur 3[13]
BxA, ByC → CzA
BaA, BaC → CiADaraptiJeder Mensch ist ein Wesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
BeA, BaC → CoAFelaptoKein Mensch ist ein Stein
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist kein Stein.
BiA, BaC → CiADisamisIrgendein Mensch ist ein Wesen
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
BaA, BiC → CiADatisiJeder Mensch ist ein Wesen
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
BoA, BaC → CoABocardoIrgendein Mensch ist kein Stein
Jeder Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist kein Stein
BeA, BiC → CoAFerisonKein Mensch ist ein Stein
Irgendein Mensch ist ein Lebewesen
Also: Irgendein Lebewesen ist kein Stein

Codierung der Argumente

Die Argumente, die Aristoteles in seinen Beweisen einsetzte, kürzte Petrus Hispanus mit Konsonanten ab, und zwar jeweils mit einer Initiale eines typischen Worts im Argumentnamen. Auf diese Weise codierte er das aristotelische Axiomensystem der Syllogistik vollständig entsprechend folgender Tabelle:

Code[6]Argumentname[6]aristotelische Regel formalisiert
BBarbaraBaA, CaB → CaAvollkommene
Syllogismen[14]
CCelarentBeA, CaB → CeA
DDariiBaA, CiB → CiA
FFerioBeA, CiB → CoA
sconversio simplexAeB → BeA
AiB → BiA
Konversionen[15]
pconversio per accidensAaB → BiA
mtranspositio in premissis
de majori minorem
A, B → B, APrämissentausch[16]
c


per impossibile
ex opposito conclusionis[17]
A, ¬C → Widerspruch
äquivalent zu A → C
indirekter Beweis[18]
per
Negation von o und i
equipollet suo contradictorio[19]¬(AoB) = AaB
¬(AiB) = AeB

Codierung der Beweise

Die Merknamen codieren die Syllogismen samt Beweis. Petrus Hispanus achtete darauf, dass in Merknamen nur die Code-Konsonanten vorkommen, bei denen die zugehörige Regel auch anzuwenden ist; daher haben vollkommene Syllogismen als Axiome keine anderen Code-Konsonanten. Folgende Tabelle hebt die Code-Konsonanten fettgedruckt hervor und überträgt die Codierung in die aristotelischen Beweise, die so übersichtlich und präzise nachvollziehbar werden:

SyllogismusBeweiscodeBeweis[10]
BaA, CaB → CaABarbarabeweist nur sich
BeA, CaB → CeACelarentbeweist nur sich
BaA, CiB → CiADariibeweist nur sich
BeA, CiB → CoAFeriobeweist nur sich
BaA, CaB → AiCBaraliptonBaA, CaB Barbara CaA conversio per accidens AiC
BeA, CaB → AeCCelantesBeA, CaB Celarent CeA conversio simplex AeC
BaA, CiB → AiCDabitisBaA, CiB Darii CiA conversio simplex AiC
BaA, CeB → AoCFapesmoBaA, CeB conversio per accidens AiB, CeB conversio simplex AiB, BeC de majori minorem BeC, AiB Ferio AoC
BiA, CeB → AoCFrisesomorumBiA, CeB conversio simplex AiB, CeB conversio simplex AiB, BeC de majori minorem BeC, AiB Ferio AoC
AeB, CaB → CeACesareAeB, CaB conversio simplex BeA, CaB Celarent CeA
AaB, CeB → CeACambestresAaB, CeB de majori minorem CeB, AaB conversio simplex BeC, AaB Celarent AeC conversio simplex CeA
AeB, CiB → CoAFestinoAeB, CiB conversio simplex BeA, CiB Ferio CoA
AaB, CoB → CoABarocoex opposito conclusionis AaB, CaA, CoB Barbara CaB, CoB impossibilis (Widerspruch)
BaA, BaC → CiADaraptiBaA, BaC conversio per accidens BaA, CiB Darii CiA
BeA, BaC → CoAFelaptoBeA, BaC conversio per accidens BeA, CiB Ferio CoA
BiA, BaC → CiADisamisBiA, BaC conversio simplex AiB, BaC de majori minorem BaC, AiB Darii AiC conversio simplex CiA
BaA, BiC → CiADatisiBaA, BiC conversio simplex BaA, CiB Darii CiA
BoA, BaC → CoABocardoex opposito conclusionis BoA, CaA, BaC Barbara BoA, BaA impossibilis (Widerspruch)
BeA, BiC → CoAFerisonBeA, BiC conversio simplex BeA, CiB Ferio CoA

Code-Varianten

Das Merkgedicht kursiert heute in verschiedenen Varianten. Der Kernbestand der Figuren 1–3 blieb unverändert bis auf orthographische Varianten: Camestres, Felapton, Baroco. Die eingeschobene Figur 1a wurde später durch die Figur 4 ersetzt, die nur die Prämissen der Syllogismen vertauscht und die Variablen umbenennt, um die sonstige Konklusionform CzA zu erreichen. Die Beweise laufen dann analog, erforderten aber neue Merknamen, die den Code m einfügen oder streichen; es sind verschiedene Kunstnamen seit dem 17. Jahrhundert gebräuchlich:

Figur 4SyllogismusMerknameMerkname englische Tradition
AxB, ByC → CzAAaB, BaC → CiABamalipBramantip
AaB, BeC → CeACalemesCamenes
AiB, BaC → CiADimatisDimaris
AeB, BaC → CoAFesapoFesapo
AeB, BiC → CoAFresisonFresison

Nachfolger des Aristoteles vervollständigten die Liste der 19 aristotelischen Syllogismen auf alle 24 möglichen Syllogismen.[20] Sie ergänzten bei Aristoteles fehlende Subalternationen der Syllogismen Barbara, Celarent, Camestres, Cesare, Calemes, die seit dem 16. Jahrhundert mit modifizierten Namen bezeichnet werden,[21] die aber den Beweis per Subalternation (ps oder cps) nicht codieren:

FigurSyllogismusMerknameBeweis-Code
Figur 1BaA, CaB → CiABarbariBarbara ps
BeA, CaB → CoACelarontCelarent cps
Figur 2AeB, CaB → CoACesaroCesare cps
AaB, CeB → CoACamestrosCambestres cps
Figur 4AaB, BeC → CoACalemosCalemes cps

Reduzierte Syllogistik

Petrus Hispanus codierte nur einen kleinen Ausschnitt aus der Logik des Aristoteles. Die komplizierte und umstrittene modale Syllogistik[22] klammerte er aus. Sein Code erfasst nur den überzeugenden Kern der assertorischen Syllogistik, aber auch aus ihr längst nicht alles. Zum Beispiel überging er alle Falsifikationen, mit denen Aristoteles an Beispielen demonstrierte, dass es mit anderen Prämissen keine Syllogismen gibt. Er codierte auch nicht die indirekten Beweise von Darii und Ferio der Figur 1, die Aristoteles später nachreichte, um sein Axiomensystem zu reduzieren, ebenso nicht dessen indirekten Beweis der zweiten Konversion.

Reduktion des Axiomensystems[23]
BaA, CiB → CiADariiex opposito conclusionis BaA, CeA, CiB Cambestres CeB, CiB Widerspruch
BeA, CiB → CoAFerioex opposito conclusionis BeA, CaA, CiB Cesare CeB, CiB Widerspruch
AiB → BiAconversio simplex 2ex opposito conclusionis AiB, BeA conversio simplex 1 AiB, AeB Widerspruch

Trotzdem erzielte Petrus Hispanus mit seiner codierten Syllogistik einen anhaltenden Erfolg. Der Ableitung seines Systems galt auch George Booles mathematische Logik mit Definitionen, die Leibniz schon 160 Jahre vorher angegeben, aber nicht publiziert hatte:

Definitionen in der booleschen Algebra[24][25]
universelle AussagenXaY := X¬Y=0    XeY := XY=0
partikuläre AussagenXoY := X¬Y≠0XiY := XY≠0
verknüpfte AussagenA, B := ABA→C := A=AC

Mit diesen Definitionen bewies Boole die codierten Regeln unter der Voraussetzung nichtleerer Terme.[26] Nötig ist das aber nur bei der Konversion p und damit bewiesenen Syllogismen. Will man Leerterme nicht verbieten, so muss man in diesen Fällen nichtleere Terme voraussetzen:

Theorem-Varianten in der booleschen Algebra
AaB, A≠0 → BiAp conversio per accidensBaA, CaB, C≠0 → CiABarbari
BaA, CaB, C≠0 → AiCBaraliptonBeA, CaB, C≠0 → CoACelaront
BaA, CeB, B≠0 → AoCFapesmoAeB, CaB, C≠0 → CoACesaro
BaA, BaC, B≠0 → CiADaraptiAaB, CeB, C≠0 → CoACamestros
BeA, BaC, B≠0 → CoAFelaptoAaB, BeC, C≠0 → CoACalemos

Mit leicht abgewandelten Definitionen XaY:=(X¬Y=0)(X≠0) und XoY:=¬(XaY) ergibt sich aber ganz genau die Syllogistik des Aristoteles. Petrus Hispanus übersetzte sie also schon in einen ziemlich perfekten konsistenten Kalkül; zudem bildete er seine Beispiele konsequent in einem wohldefinierten Modell: Man setzt in einer achtwertigen booleschen Algebra mit Gleichheit MENSCH und STEIN als minimale nichtleere Terme und außerdem LEBEWESEN=NICHT-STEIN und WESEN=1. Das ergibt das kleinste Modell, in dem diese Terme verschieden sind und die Aussagen der Syllogismus-Beispiele alle wahr sind. Man kann auch alle aristotelischen Falsifikationen in diesem Modell nachvollziehen.

Porphyrianischer Baum

Petrus Hispanus prägte im Tractatus II, Kapitel 11 der Summulae logicales den Begriff des Porphyrianischen Baums als Name für den Baum, der das Klassifikationssystem des Porphyrios visualisierte.

Werke

  • Petrus Hispanus: Tractatus = Summulae logicales, ed. L. M. De Rijk, Assen, 1972.
Deutsche Übersetzung: Petrus Hispanus: Logische Abhandlungen. Aus dem Lateinischen von W. Degen und B. Bapst, München 2006, ISBN 3-88405-005-2.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Traditionelle Zuschreibung auf neuestem Stand: W. Degen und B Bapst: Logische Abhandlungen, München 2006, Vorwort.
  2. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O. P., Auctor Summularum (I). In: Vivarium. 35,1 (1997), S. 21–71. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O.P., Auctor Summularum (II): Further documents and problems. In: Vivarium. 39,2 (2001), S. 209–254. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O.P., Auctor Summularum (III). "Petrus Alfonsi" or "Petrus Ferrandi"? In: Vivarium. 41,2 (2004), S. 249–303.
  3. Dazu die fundierte Bibliographie: Paul Moore: Iter Psellianum. Toronto 2005, MISC 59.
  4. a b William of Sherwood: Introductiones in logicam III. Er codiert die Beweise nicht korrekt: indirekte Beweise durch B r, was zu Barbara und Baralipton nicht passt, und das Codewort Campestres (=Felder) mit Code p zuviel (daher schreibt Petrus Hispanus Cambestres und die spätere Tradition Camestres als sinnloses Wort).
  5. Dante: Divina Comedia, Paradiso XII, 134f. Deutsch online: [1]
  6. a b c d Petrus Hispanus, Summulae logicales, Tractatus IV 13, Merkgedicht mit originaler Orthographie, dort in Großschrift.
  7. Übersetzungen nach: Aristoteles: Topik II 1, 108b35ff, Aristoteles: De interpretatione 7, 17b17-212
  8. Aristoteles: An.pr. (erste Analytik) A1, 24a18f
  9. a b Aristoteles: An.pr. A7 29a24-27
  10. a b Petrus Hispanus, Summulae logicales, Tractatus IV 6, IV 8f, IV 11, jeweils verbal beschriebener Syllogismus, Beispiel, Beweisskizze mit Argumenten (ermittelt aus An.pr. A4-7).
  11. Aristoteles: An.pr. A4 25b37b-26a2, 26a23-28, vollkommene Syllogismen (Axiome)
  12. Aristoteles: An.pr. A5 27a5-39
  13. Aristoteles: An.pr. A6 28a17-35
  14. Aristoteles: An.pr. A4, 25b32ff.
  15. Aristoteles: An.pr. A2, 25a15-22.
  16. Selten explizit erwähnt, etwa: Aristoteles: An.pr. B4, 57a17 μετάθεσις.
  17. Summule logicales IV 9.
  18. Aristoteles: An.pr. B14, 62b29-35.
  19. Summule logicales I 12, I 18.
  20. Apuleius: Peri Hermeneias. In: C. Moreschini (Hrsg.): De Philosophia libri. Stuttgart/Leipzig 1991, S. 189–215, verweist S. 213 auf drei primäre und zwei sekundäre Subalternationen des Ariston von Alexandria, einem Peripatetiker des 1./2. Jahrhunderts, dessen Schriften verloren sind.
  21. Die älteste Quelle dürfte sein: Alexander Achillini: De potestate syllogismis, Edition 1545, S. 155 [2]
  22. An.pr. A8-22 (14 Kapitel).
  23. Aristoteles: An.pr. A2, 25a20f indirekter Beweis der 2. conversio simplex. An.pr. A7, 29b9-14 Beweis von Darii und Ferio.
  24. George Boole: The mathematical Analysis of Logik, 1847; S. 31 mnemonic verses (englische Tradition) [3]; S. 20f Definitionen: ¬x:=1-x, a als x(1-y)=0, e als xy=0, i als v=xy, o als v=x(1-y) mit Variablen für elementhaltige Klassen laut S. 15 (v eliminierbar mit v≠0). Verknüpfte Aussagen: S. 51 Konjunktion als xy, S. 54 (36) Implikation x(1-y)=0 mit Verweis auf S. 21 (4) mit äquivalenter Formel xy=x (Tabelle).
  25. Leibniz: Generales Inquisitiones, 1686, ediert 1903: §151 kategorische Aussagen mit 'est res' für ≠0 und 'non est res' für =0 [4]; §198,6 setzt die Implikation synonym zu 'A continet B', was §16/§83 als A=AB definiert.
  26. George Boole: The mathematical Analysis of Logik: S. 15 elementhaltige Klassen; S. 26ff simple conversion (s), conversion per accidens (p); S. 34 Barbara (B), Celarent (C), Prämissentausch (m); die Äquivalenz der Implikationsformeln (vorige Fußnote) ist der indirekte Beweis (c).