Perfekte Potenz

Die perfekten Potenzen 4, 8 und 9, dargestellt mit Cuisenaire-Stäbchen

In der Mathematik ist eine perfekte Potenz (vom englischen perfect power) eine natürliche Zahl , die ein Produkt mehrerer gleicher natürlicher Faktoren ist. Mit anderen Worten: Sie ist eine ganze Zahl, die als Quadrat oder eine höhere ganzzahlige Potenz einer anderen ganzen Zahl größer als 1 ausgedrückt werden kann.

Etwas mathematischer formuliert:

ist eine perfekte Potenz, wenn mit existieren, sodass gilt. In diesem Fall nennt man eine perfekte -te Potenz.

Ist , so nennt man eine Quadratzahl. Ist , so nennt man eine Kubikzahl.

Man kann auch die Zahlen 0 und 1 als perfekte Potenzen betrachten, weil sowohl und für alle gilt.

Beispiele

  • Die kleinsten perfekten Potenzen sind die folgenden:
Dabei fällt auf, dass man gewisse perfekte Potenzen auf mehrere Arten darstellen kann, wie zum Beispiel oder .
  • Eine Folge von perfekten Potenzen kann erzeugt werden, indem man alle möglichen Werte für und durchgeht. Die kleinsten perfekten Potenzen sind die folgenden (inklusive der doppelten wie zum Beispiel und ):
(0, 1,) 4, 8, 9, 16, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 64, 64, 81, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 256, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 512, 529, 576, 625, 625, 676, 729, 729, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 1024, 1024, 1089, … (Folge A072103 in OEIS)
  • Lässt man die doppelten weg, erhält man die folgenden kleinsten perfekten Potenzen:
(0, 1,) 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1331, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1728, 1764, … (Folge A001597 in OEIS)
  • Ist man nur an den doppelten oder mehrfachen kleinsten perfekten Potenzen interessiert, so gibt die folgende Liste Auskunft:
(0, 1,) 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 15625, 16384, 19683, 20736, 28561, 32768, 38416, 46656, 50625, 59049, 65536, 83521, 104976, 117649, 130321, 160000, 194481, 234256, 262144, 279841, 331776, 390625, … (Folge A117453 in OEIS)
  • Die Anzahl der perfekten Potenzen ohne doppelte kleiner oder gleich gibt die folgende Liste an:
4, 13, 41, 125, 367, 1111, 3395, 10491, 32670, 102231, 320990, 1010196, 3184138, 10046921, 31723592, 100216745, 316694005, 1001003332, 3164437425, 10004650118, 31632790244, 100021566157, 316274216762, 1000100055684, … (Folge A070428 in OEIS)
Beispiel:
An der vierten Stelle obiger Liste steht die Zahl 125. Das bedeutet, dass es unter genau 125 perfekte Potenzen gibt. Dabei wird die 0 nicht mitgezählt, die 1 aber schon, die ebenfalls.
  • Die folgende Tabelle zeigt alle perfekten Potenzen mit und :
, 2345678910
2481632641282565121024
392781243729218765611968359049
416642561024409616384655362621441048576
5251256253125156257812539062519531259765625
636216129677764665627993616796161007769660466176
749343240116807117649823543576480140353607282475249
8645124096327682621442097152167772161342177281073741824
9817296561590495314414782969430467213874204893486784401
10100100010000100000100000010000000100000000100000000010000000000

Eigenschaften

  • Jede perfekte Potenz kann man auch als Primzahlpotenz (mit prim) darstellen.
Beweis:
Sei eine perfekte Potenz mit einer zusammengesetzten Zahl (wobei prim ist). Dann ist . Somit kann man jede perfekte Potenz auch als Primzahlpotenz mit darstellen.
  • Sei die vollständige Primfaktorzerlegung von mit verschiedenen Primzahlen . Dann gilt:
ist eine perfekte Potenz genau dann, wenn ist, wobei mit der größte gemeinsame Teiler gemeint ist.
Beispiel:
Sei . Dann ist . Die Zahl ist daher eine 12-te Potenz (und somit auch eine 6. Potenz, eine 4. Potenz, eine Kubikzahl und eine Quadratzahl, weil 6, 4, 3 und 2 jeweils Teiler von 12 sind). Also ist eine perfekte Potenz, nämlich .
  • Die unendliche Reihe der Kehrwerte der perfekten Potenzen (inklusive der mehrfachen wie zum Beispiel ) ergibt 1:
Beweis:
Zuerst betrachtet man die geometrische Reihe , die für konvergiert. Da tatsächlich ist für , gilt:
Hebt man vorher aus der Summe noch heraus und verwendet obige geometrische Reihe, erhält man:
  • Für die unendliche Reihe der Kehrwerte der perfekten Potenzen ohne 0 und 1 und den doppelten gilt:[1]
Dabei ist die Möbiusfunktion und die Riemannsche Zeta-Funktion. Die weiteren Nachkommazahlen kann man der Folge A072102 in OEIS entnehmen.
  • Nach Leonhard Euler hat Christian Goldbach in einem mittlerweile verloren gegangenen Brief gezeigt, dass die unendliche Summe von , wobei wieder die perfekten Potenzen ohne 0 und 1 und ohne die doppelten sind, gleich 1 ergibt (der sogenannte Satz von Goldbach–Euler):[2]
Dieser Satz wurde erstmals von Leonhard Euler um 1740 unter dem Namen „Variæ observationes circa series infinitas“ publiziert, allerdings wurde er von ihm und Goldbach, wenn man moderne mathematische Maßstäbe anwendet, nicht ganz exakt, aber dafür intuitiv bewiesen.[3]
Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung mit lautet , , und .
Daraus ergibt sich die folgende Eigenschaft für perfekte Potenzen:
Das einzige Paar aufeinanderfolgender perfekter Potenzen ist und .

Ungelöste Probleme

  • Die Vermutung von Pillai besagt folgendes:[5]
Für jede gegebene positive ganze Zahl gibt es nur eine endliche Anzahl von Paaren perfekter Potenzen, deren Differenz ist.
Mit anderen Worten:
Für jedes gibt es nur endlich viele Paare perfekter Potenzen , sodass gilt:
Diese Vermutung ist die Verallgemeinerung der mittlerweile bewiesenen Catalanschen Vermutung, die den Fall behandelt.

Erkennen von perfekten Potenzen

Es gibt viele verschiedene Arten, um zu erkennen, ob eine gegebene natürliche Zahl eine perfekte Potenz ist oder nicht.

  • Die einfachste Methode ist die, dass man alle möglichen primen Werte für die Hochzahl über jeden der Teiler von hinweg betrachtet, bis zu (dabei ist der der Zweierlogarithmus, also der Logarithmus von zur Basis 2).
Beispiel:
Seien die Teiler der zu untersuchenden Zahl . Dann muss zumindest einer der Werte gleich sein, wenn tatsächlich eine perfekte Potenz sein soll.
Sei . Diese Zahl hat die echten Teiler und (1 und 117649 sind keine echten Teiler). Es ist weiters (es ist ) und somit kommen als Potenzen nur Primzahlen in Frage, die kleiner als 16 sind, also 2, 3, 5, 7, 11 und 13. Man muss also für alle 5 echten Teiler je 6 Potenzen, also insgesamt 30 Potenzen bis ausrechnen (also ) und kontrollieren, ob man als Ergebnis erhält (wobei man vor allem bei höheren Teilern nicht alle primen Potenzen durchprobieren muss, weil man eine viel zu hohe Zahl erhalten würde). Schon bei der achten Kontrolle, bei , kann man erkennen, dass es sich bei tatsächlich um eine perfekte Potenz handelt. Würde man niemals mit diesen 30 Potenzen die Zahl herausbekommen, so wäre keine perfekte Potenz.

Einzelnachweise

  1. Eric W. Weisstein: Perfect Power. In: MathWorld (englisch).
  2. Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, Jaume Paradís: On a Series of Goldbach and Euler. Abgerufen am 26. August 2021.
  3. Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas. 1744, abgerufen am 26. August 2021.
  4. Thomas Lorenz: Die Catalan’sche Vermutung. Kapitel 5: Mihailescus Beweis der Catalan’schen Vermutung. Technische Universität Wien, S. 65–83, abgerufen am 26. August 2021.
  5. Eric W. Weisstein: Pillai's Conjecture. In: MathWorld (englisch).

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Perfect power number Cuisenaire rods 9.png
Autor/Urheber: Hyacinth, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Showing, through Cuisenaire rods, that 4, 8, and 9 are perfect power numbers.