Peano-Kurve

Die Peano-Kurve (nach Giuseppe Peano) ist eine raumfüllende Kurve (FASS-Kurve).

Sie ist definiert als der Grenzwert einer Folge von Kurven, die schrittweise konstruiert werden können.

Im zweidimensionalen Fall ist ein Beispiel für eine Peano-Kurve das folgende: Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden:

Peano curve shaded.svg

Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man als erste vier Schritte:

Peano curve.png

Setzt man dieses Verfahren der Rekursion fort, erhält man eine Folge von Kurven, die punktweise konvergiert.

Als Grenzwert erhält man die Peano-Kurve, auf der jeder Punkt des Ausgangsquadrats liegt und die unendlich lang ist.

Dieses Verfahren lässt sich leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Auch liefert eine stetige surjektive Abbildung (mit ) wiederum stetige und surjektive Abbildungen , und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion für jede natürliche Zahl .

Weitere Peano-Kurven

Es existiert auch noch eine weitere flächenfüllende Kurve, die als „Peano-Kurve“ bekannt ist. Ihre Struktur entspricht der Cantor-Diagonalisierung. Dabei wird eine Strecke zwischen zwei Punkten durch das Gebilde der ersten Stufe ersetzt.

Peano 1.GIFPeano 2.GIF
Peano-Kurve der ersten StufePeano-Kurve der zweiten Stufe

Literatur

Giuseppe Peano: Sur une courbe, qui remplit tout une aire plane. In: Mathematische Annalen 36 (1890), S. 157–160.

Weblinks

Commons: Peano-Kurve – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

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Peano curve (first three steps) with shaded regions