Ein Parallelepiped Ein Parallelepiped oder Spat (früher auch Parallelflach) ist ein geometrischer Körper , der von 6 Parallelogrammen begrenzt wird, von denen je 2 gegenüber liegende kongruent (deckungsgleich) sind und in parallelen Ebenen liegen.
Ein Parallelepiped hat 12 Kanten, von denen je 4 parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und 8 Ecken, in denen diese Kanten in maximal 3 verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.
Quader , bei denen alle Winkel gleich 90° sind, und Rhomboeder , bei denen alle Kanten gleich lang und 3 Innenwinkel gleich sind, sind Spezialfälle des Parallelepipeds. Der Würfel vereinigt beide Spezialfälle in einer Figur. Das Parallelepiped ist ein spezielles Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche .
Volumen Ein Parallelepiped wird von 3 Vektoren erzeugt. Stellt man diese 3 an einer Ecke zusammentreffende Kanten als Vektoren a → , b → , c → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}} Volumen des Parallelepipeds aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalarprodukt und Kreuzprodukt ). Das Volumen V {\displaystyle V} Grundfläche G {\displaystyle G} Parallelogramm ) und der Höhe h {\displaystyle h} G = | a → | ⋅ | b → | ⋅ sin ( γ ) = | a → × b → | {\displaystyle G=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin(\gamma )=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|} γ {\displaystyle \gamma } Winkel zwischen a → {\displaystyle {\vec {a}}} b → {\displaystyle {\vec {b}}} h = | c → | ⋅ | cos ( θ ) | {\displaystyle h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|} θ {\displaystyle \theta } c → {\displaystyle {\vec {c}}} Normalenvektor auf der Grundfläche ist, ergibt sich
V = G ⋅ h = ( | a → | ⋅ | b → | ⋅ sin ( γ ) ) ⋅ | c → | ⋅ | cos ( θ ) | = | a → × b → | ⋅ | c → | ⋅ | cos ( θ ) | = | ( a → × b → ) ⋅ c → | {\displaystyle {\begin{aligned}V&=G\cdot h=(|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin(\gamma ))\cdot |{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|\cdot |{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|\\&=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|\end{aligned}}} Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt . Es kann als Determinante geschrieben werden. Für a → = ( a 1 , a 2 , a 3 ) T , b → = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T , c → = ( c 1 , c 2 , c 3 ) T {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T},\quad {\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T},\quad {\vec {c}}=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T}} Volumen dann:
V = | det ( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ) | {\displaystyle V=\left|\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}\;\right|} Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:
V = a ⋅ b ⋅ c ⋅ 1 + 2 ⋅ cos ( α ) ⋅ cos ( β ) ⋅ cos ( γ ) − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( γ ) {\displaystyle V=a\cdot b\cdot c\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}} Dabei sind α = ∠ ( b → , c → ) , β = ∠ ( a → , c → ) , γ = ∠ ( a → , b → ) {\displaystyle \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\quad \beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\quad \gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})} Winkel zwischen den Kanten und a , b , c {\displaystyle a,b,c}
Der Nachweis dieser Formel lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei M {\displaystyle M} Matrix , deren Spaltenvektoren die Vektoren a → , b → , c → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
V 2 = ( det ( M ) ) 2 = det ( M ) ⋅ det ( M ) = det ( M T ) ⋅ det ( M ) = det ( M T ⋅ M ) = det ( a → ⋅ a → a → ⋅ b → a → ⋅ c → b → ⋅ a → b → ⋅ b → b → ⋅ c → c → ⋅ a → c → ⋅ b → c → ⋅ c → ) = a 2 ⋅ b 2 ⋅ c 2 ⋅ ( 1 + 2 ⋅ cos ( α ) ⋅ cos ( β ) ⋅ cos ( γ ) − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( γ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=(\det(M))^{2}=\det(M)\cdot \det(M)=\det(M^{T})\cdot \det(M)=\det(M^{T}\cdot M)\\&=\det {\begin{pmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{pmatrix}}=a^{2}\cdot b^{2}\cdot c^{2}\cdot (1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma ))\end{aligned}}} Im letzten Schritt wurden die Gleichungen a → ⋅ a → = a 2 , b → ⋅ b → = b 2 , c → ⋅ c → = c 2 , a → ⋅ b → = a ⋅ b ⋅ cos ( γ ) , a → ⋅ c → = a ⋅ c ⋅ cos ( β ) , b → ⋅ c → = b ⋅ c ⋅ cos ( α ) {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=a^{2},\quad {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}=b^{2},\quad {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=c^{2},\quad {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a\cdot b\cdot \cos(\gamma ),\quad {\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=a\cdot c\cdot \cos(\beta ),\quad {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=b\cdot c\cdot \cos(\alpha )}
Körpernetz eines ParallelepipedsDer Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Seitenflächen , den 6 Parallelogrammen :
A = 2 ⋅ ( | a → × b → | + | a → × c → | + | b → × c → | ) = 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin ( γ ) + 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin ( β ) + 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ( α ) {\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {c}}|+|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\right)\\&=2\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma )+2\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta )+2\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha )\end{aligned}}}
In der Ecke , in der die Vektoren a → , b → , c → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}} Innenwinkel α = ∠ ( b → , c → ) , β = ∠ ( a → , c → ) , γ = ∠ ( a → , b → ) {\displaystyle \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\quad \beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\quad \gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})} Tetraeder . Betrachtet man die Umkugel dieses Tetraeders, dann gilt nach dem Kosinussatz für Kugeldreiecke die Gleichung
cos ( α ) = cos ( β ) ⋅ cos ( γ ) + sin ( β ) ⋅ sin ( γ ) ⋅ cos ( β a ) {\displaystyle \cos(\alpha )=\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )+\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )\cdot \cos(\beta _{a})} Dabei ist β a {\displaystyle \beta _{a}} Flächenwinkel zwischen den beiden Seitenflächen , die am Vektor a → {\displaystyle {\vec {a}}}
Daraus folgt
β a = arccos ( cos ( α ) − cos ( β ) ⋅ cos ( γ ) sin ( β ) ⋅ sin ( γ ) ) {\displaystyle \beta _{a}=\arccos \left({\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )}{\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )}}\right)} Die Flächenwinkel β b {\displaystyle \beta _{b}} β c {\displaystyle \beta _{c}}
Raumwinkel Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L’Huilier berechnet werden.[ 1]
Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln α = ∠ ( b → , c → ) , β = ∠ ( a → , c → ) , γ = ∠ ( a → , b → ) {\displaystyle \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\quad \beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\quad \gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})}
Ω 1 = 4 ⋅ arctan ( tan ( θ s 2 ) ⋅ tan ( θ s − θ a 2 ) ⋅ tan ( θ s − θ b 2 ) ⋅ tan ( θ s − θ c 2 ) ) = 4 ⋅ arctan ( tan ( α + β + γ 4 ) ⋅ tan ( − α + β + γ 4 ) ⋅ tan ( α − β + γ 4 ) ⋅ tan ( α + β − γ 4 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +\beta -\gamma }{4}}\right)}}\right)\end{aligned}}} wobei θ s = α + β + γ 2 {\displaystyle \theta _{s}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}} θ a = α {\displaystyle \theta _{a}=\alpha } θ b = β {\displaystyle \theta _{b}=\beta } θ c = γ {\displaystyle \theta _{c}=\gamma }
Zwei diagonal gegenüber liegende Raumwinkel in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil die 3 anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die anderen drei Raumwinkel ergeben sich für
θ a = α , θ b = 180 ∘ − β , θ c = 180 ∘ − γ {\displaystyle \theta _{a}=\alpha ,\quad \theta _{b}=180^{\circ }-\beta ,\quad \theta _{c}=180^{\circ }-\gamma } θ a = 180 ∘ − α , θ b = β , θ c = 180 ∘ − γ {\displaystyle \theta _{a}=180^{\circ }-\alpha ,\quad \theta _{b}=\beta ,\quad \theta _{c}=180^{\circ }-\gamma } θ a = 180 ∘ − α , θ b = 180 ∘ − β , θ c = γ {\displaystyle \theta _{a}=180^{\circ }-\alpha ,\quad \theta _{b}=180^{\circ }-\beta ,\quad \theta _{c}=\gamma }
Tabelle: Zusammenfassung Größen eines Parallelepipeds mit den Kantenlängen a , b , c und den Innenwinkeln α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma } Parallelelepiped Volumen V = a ⋅ b ⋅ c ⋅ 1 + 2 ⋅ cos ( α ) ⋅ cos ( β ) ⋅ cos ( γ ) − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( γ ) {\displaystyle V=a\cdot b\cdot c\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}} Oberflächeninhalt A = 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin ( γ ) + 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin ( β ) + 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ( α ) {\displaystyle A=2\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma )+2\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta )+2\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha )} Höhe h = a sin ( α ) ⋅ 1 + 2 ⋅ cos ( α ) ⋅ cos ( β ) ⋅ cos ( γ ) − cos 2 ( α ) − cos 2 ( β ) − cos 2 ( γ ) {\displaystyle h={\frac {a}{\sin(\alpha )}}\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}} Raumdiagonale | a → + b → + c → | {\displaystyle |{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|}
d = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin ( γ ) + 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin ( β ) + 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ( α ) {\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma )+2\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta )+2\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha )}}} Winkel zwischen benachbarten Flächen
β a = arccos ( cos ( α ) − cos ( β ) ⋅ cos ( γ ) sin ( β ) ⋅ sin ( γ ) ) {\displaystyle \beta _{a}=\arccos \left({\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )}{\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )}}\right)} Raumwinkel in den EckenΩ 1 = 4 ⋅ arctan ( tan ( α + β + γ 4 ) ⋅ tan ( − α + β + γ 4 ) ⋅ tan ( α − β + γ 4 ) ⋅ tan ( α + β − γ 4 ) ) {\displaystyle \Omega _{1}=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {-\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\alpha -\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\alpha +\beta -\gamma }{4}}\right)}}\right)}
Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit kongruenten Parallelepipeden ausgefüllt werden. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung
Diese Raumfüllung aus Parallelepipeden bildet ein Gitter . Dieses Gitter enthält parallele Ebenen . Die im Gitter benachbarten Raumwinkel Ω 1 {\displaystyle \Omega _{1}} Ω 2 {\displaystyle \Omega _{2}} Flächenwinkel β a {\displaystyle \beta _{a}} 2 ⋅ π {\displaystyle 2\cdot \pi } 4 ⋅ π s r {\displaystyle 4\cdot \pi \ \mathrm {sr} } β a = Ω 1 + Ω 2 2 {\displaystyle \beta _{a}={\frac {\Omega _{1}+\Omega _{2}}{2}}} β b = Ω 1 + Ω 3 2 {\displaystyle \beta _{b}={\frac {\Omega _{1}+\Omega _{3}}{2}}} β c = Ω 1 + Ω 4 2 {\displaystyle \beta _{c}={\frac {\Omega _{1}+\Omega _{4}}{2}}}
In den Gitterpunkten treffen 8 Raumwinkel zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel, wobei 2 diagonal gegenüber liegende Raumwinkel jeweils gleich sind. Es gilt also 2 ⋅ Ω 1 + 2 ⋅ Ω 2 + 2 ⋅ Ω 3 + 2 ⋅ Ω 4 = 4 ⋅ π s r {\displaystyle 2\cdot \Omega _{1}+2\cdot \Omega _{2}+2\cdot \Omega _{3}+2\cdot \Omega _{4}=4\cdot \pi \ \mathrm {sr} }
Verallgemeinerung Das Parallelotop beziehungsweise n -Parallelotop ist eine Verallgemeinerung des Parallelepipeds im n -dimensionalen Raum . Das zweidimensionale Parallelotop ist das Parallelogramm .
Ein n -Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter einer affinen Abbildung . Der Einheitswürfel I n {\displaystyle I^{n}} Menge von Punkten , deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt
I n := { ( x 1 , … , x n ) ∣ 0 ≤ x i ≤ 1 } {\displaystyle I^{n}:=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid 0\leq x_{i}\leq 1\right\}} Das Parallelotop ist ein konvexes Polytop mit 2 n {\displaystyle 2^{n}} Ecken . Für m < n {\displaystyle m<n} m -dimensionalen Seiten selbst m -dimensionale Parallelotope.
Literatur Konrad Königsberger: Analysis . Band 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3 .
Siehe auch
Weblinks
Einzelnachweise ↑ Wolfram MathWorld: Spherical Excess 
