Parabolische Isometrie

In der Mathematik sind parabolische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Definition

Es sei ${\displaystyle X}$ ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Für eine Isometrie ${\displaystyle f\colon X\to X}$ sei ${\displaystyle d_{f}\colon X\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ definiert durch

${\displaystyle d_{f}(x)=d(f(x),x)}$.

Die Isometrie ist parabolisch, wenn es kein ${\displaystyle x_{0}\in X}$ mit

${\displaystyle d_{f}(x_{0})=\inf \left\{d_{f}(x)\colon x\in X\right\}}$

gibt, wenn also das Infimum nicht angenommen wird.

Fixpunkt im Unendlichen

Eine parabolische Isometrie hat einen Fixpunkt im Unendlichen. Sie lässt alle Horosphären um diesen Punkt invariant.^[1]

Beispiel

Sei ${\displaystyle X={\mathbf {H} }^{2}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)>0\right\}}$ das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine durch

${\displaystyle f(z)=z+a}$

mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ gegebene Abbildung. Aus der Definition der hyperbolischen Metrik folgt, dass ${\displaystyle f}$ eine Isometrie ist und ${\displaystyle d_{f}(z)={\frac {a}{\operatorname {Im} (z)}}}$ gilt. Insbesondere ist

${\displaystyle \inf \left\{d_{f}(z)\colon z\in \mathbf {H} ^{2}\right\}=0}$.

Weil ${\displaystyle f}$ in der hyperbolischen Ebene keinen Fixpunkt hat, gibt es aber kein ${\displaystyle z\in \mathbf {H} ^{2}}$ mit ${\displaystyle d_{f}(z)=0}$, das Infimum wird also nicht angenommen. Die Isometrie ${\displaystyle f}$ ist parabolisch.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen ${\displaystyle A\in SL(2,\mathbb {R} )}$ und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen ${\displaystyle A\in SL(2,\mathbb {C} )}$ beschrieben werden. In beiden Fällen ist die durch eine Matrix ${\displaystyle A}$ beschriebene Isometrie genau dann parabolisch, wenn für die Spur der Matrix

${\displaystyle \operatorname {Sp} (A)\in \left\{-2,2\right\}}$

gilt. Das obige Beispiel entspricht der Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&a\\0&1\end{matrix}}\right)}$.

Siehe auch

• Hyperbolische Isometrie
• Elliptische Isometrie

Literatur

• Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.
• Koji Fujiwara, Koichi Nagano, Takashi Shioya: Fixed point sets of parabolic isometries of CAT(0)-spaces. Comment. Math. Helv. 81 (2006), no. 2, 305–335.

Weblinks

• Koji Fujiwara: CAT(0) spaces for Riemannian geometers. (PDF-Datei; 116 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ Bridson-Haefliger, op. cit., Proposition 8.25