Pachner-Zug

Dieser Pachner-Zug ersetzt zwei Simplizes in ${\displaystyle \partial \Delta ^{4}}$ durch die anderen drei.

Der Pachner-Zug ist ein Begriff aus der kombinatorischen Topologie, also dem Studium von Simplizialkomplexen und triangulierten Mannigfaltigkeiten innerhalb der Mathematik.

Ein Pachner-Zug ersetzt einige Simplizes in einer triangulierten ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit durch andere Simplizes und zwar so, dass die Vereinigung aus den ersetzten und den ersetzenden Simplizes genau den Rand eines ${\displaystyle (n+1)}$-Simplex bildet.

Die Bedeutung der Pachner-Züge ergibt sich daraus, dass je zwei unterschiedliche Triangulierungen einer Mannigfaltigkeit durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. Dies wurde 1991 von Pachner bewiesen.

Definition

Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle \Delta ^{n+1}}$ den ${\displaystyle (n+1)}$-dimensionalen Standardsimplex und ${\displaystyle \partial \Delta ^{n+1}}$ seinen Rand mit der Triangulierung durch Seitenflächen.

Gegeben sei eine ${\displaystyle n}$-dimensionale triangulierte Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Ein Pachner-Zug besteht in der Auswahl eines zu einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen Unterkomplex ${\displaystyle C^{\prime }\subset \partial \Delta ^{n+1}}$ isomorphen Unterkomplexes ${\displaystyle C\subset M}$ und dem Bilden der triangulierten Mannigfaltigkeit

${\displaystyle (M\setminus C)\cup _{\phi }(\partial \Delta ^{n+1}\setminus C^{\prime })}$,

wobei die Verklebeabbildung ${\displaystyle \phi \colon \partial C\to \partial C^{\prime }}$ die Einschränkung des gegebenen simplizialen Isomorphismus ${\displaystyle C\to C^{\prime }}$ ist.

Man erhält mittels dieser Konstruktion wieder dieselbe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, aber mit einer anderen als der ursprünglichen Triangulierung.

Beispiele

Im Fall ${\displaystyle 3}$-dimensionaler Mannigfaltigkeiten spricht man von ${\displaystyle 1}$-${\displaystyle 4}$- und ${\displaystyle 2}$-${\displaystyle 3}$-Pachner-Zügen. Ein ${\displaystyle 1}$-${\displaystyle 4}$-Pachner-Zug ersetzt einen ${\displaystyle 3}$-dimensionalen Simplex durch vier andere (oder umgekehrt), ein ${\displaystyle 2}$-${\displaystyle 3}$-Pachner-Zug ersetzt zwei ${\displaystyle 3}$-dimensionale Simplizes durch drei andere (oder umgekehrt).

Satz von Pachner

Satz von Pachner: Wenn zwei triangulierte PL-Mannigfaltigkeiten (beliebiger Dimension) PL-homöomorph sind, dann gibt es eine Folge von Pachner-Zügen, die die eine Triangulierung in die andere überführt.

Insbesondere gilt für Flächen und ${\displaystyle 3}$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, dass je zwei Triangulierungen sich durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. (Dies ergibt sich aus der Eindeutigkeit der PL-Struktur für Mannigfaltigkeiten der Dimensionen ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle 3}$.)

Literatur

• Udo Pachner: Homeomorphic manifolds are equivalent by elementary shellings, European J. Combin. 12 (1991), 129–145.
• W. B. R. Lickorish: Simplicial moves on complexes and manifolds. Proceedings of the Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998), 299–320 Geom. Topol. Monogr., 2, Geom. Topol. Publ., Coventry, 1999.