P-triviale σ-Algebra

Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik ein spezielles Mengensystem, das sich dadurch auszeichnet, dass jeder Teilmenge des Mengensystems (bzw. jedem Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 zugeordnet wird. Die Ereignisse sind also fast sicher oder fast unmöglich. P-triviale σ-Algebren treten in der Stochastik beispielsweise im Rahmen der 0-1-Gesetze auf. Auch in der Ergodentheorie finden sie Verwendung, beispielsweise bei der Frage, ob ein maßerhaltendes dynamisches System auch ergodisch ist.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$. Eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}}$ heißt eine P-triviale σ-Algebra, wenn für alle ${\displaystyle O\in {\mathcal {O}}}$ gilt, dass entweder ${\displaystyle P(O)=0}$ oder ${\displaystyle P(O)=1}$ ist.

Elementare Beispiele

• Die triviale σ-Algebra ${\displaystyle \{\Omega ,\emptyset \}}$ ist immer auch P-trivial. Dies folgt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, da dort immer ${\displaystyle P(\Omega )=1}$ und ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$ gefordert wird.
• Sind zwei zueinander singuläre Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ gegeben, so existiert eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge. Es gilt also ${\displaystyle \Omega =N_{1}\cup N_{2}}$ und ${\displaystyle N_{1}\cap N_{2}=\emptyset }$, so dass ${\displaystyle P_{1}(N_{1})=0}$ und ${\displaystyle P_{2}(N_{2})=0}$. Dann ist die σ-Algebra ${\displaystyle \{\Omega ,\emptyset ,N_{1},N_{2}\}}$ sowohl ${\displaystyle P_{1}}$-trivial als auch ${\displaystyle P_{2}}$-trivial. Aufgrund der elementaren Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten gilt nämlich ${\displaystyle P_{1}(N_{2})=1}$ und ${\displaystyle P_{2}(N_{1})=1}$, die Wahrscheinlichkeiten der Grundmenge und der leeren Menge sind wieder durch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben.

Anwendungsbeispiele

Meist ist der Beweis, dass ein Mengensystem P-trivial ist, nicht leicht zu führen, demnach tragen einige dieser Aussagen Eigennamen. Sie werden zu den 0-1-Gesetzen gezählt, da sie Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Klassische Beispiele sind:

• Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz. Es besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängigen σ-Algebren P-trivial ist.
• Das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage. Es besagt, dass die austauschbare σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen P-trivial ist.

Eigenschaften

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ist eine P-triviale σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}}$ von jedem anderen Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {A}}}$ unabhängig. Dies lässt sich mittels elementarer Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten.

Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist: Wenn ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ P-trivial ist, dann gilt für den bedingten Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} (X|{\mathcal {O}})=\operatorname {E} (X)}$, denn ${\displaystyle \sigma (X)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ sind voneinander unabhängig. Diese Schlussfolgerung findet beispielsweise Verwendung bei dem individuellen Ergodensatz und dem L^p-Ergodensatz.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.