Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand ${\displaystyle \Psi }$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})}$, so dass

${\displaystyle E({\hat {x}}_{j})={\langle {\hat {x}}_{j}\,\Psi ,\Psi \rangle }_{\mathrm {H} }\ ,\quad j=1,2,3}$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand ${\displaystyle \Psi }$ ist.

Definition und Eigenschaften

• Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren ${\displaystyle {\hat {x}}_{j}}$, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren ${\displaystyle {\hat {p}}_{k}}$ die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:

${\displaystyle [{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=\mathrm {i} \,\hbar \,\delta _{jk}\ ,\quad [{\hat {x}}_{j},{\hat {x}}_{k}]=0=[{\hat {p}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}}$

• Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} )}$ ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, jeder Zustand ${\displaystyle \Psi }$ ist durch eine Ortswellenfunktion ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ gegeben.

Die Ortsoperatoren ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})}$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator ${\displaystyle {\hat {x}}_{j}}$ wirkt auf Ortswellenfunktionen ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle ({\hat {x}}_{j}\,\psi )(\mathbf {x} )=x_{j}\cdot \psi (\mathbf {x} )}$

Dieser Operator ${\displaystyle {\hat {x}}_{j}}$ ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum ${\displaystyle D=\{\psi \in H\,|\,x\cdot \psi \in H\}}$ definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

${\displaystyle E({\hat {x}}_{j})={\langle {\hat {x}}_{j}\,\Psi ,\Psi \rangle }_{L^{2}}=\int _{\mathbb {R} ^{3}}x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,{\overline {\psi (\mathbf {x} )}}\,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{3}}x_{j}\,|\psi (\mathbf {x} )|^{2}\mathrm {d} x}$

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

${\displaystyle {\bigl (}{\hat {p}}_{k}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )=-\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\psi (\mathbf {x} )}$

Eigenfunktionen

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

${\displaystyle ({\hat {x}}\,\psi _{\mathbf {x_{0}} })(\mathbf {x} )=\mathbf {x_{0}} \cdot \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )}$

erfüllen, wobei ${\displaystyle \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )}$ die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ darstellt.

Die Eigenfunktionen ${\displaystyle \psi (\mathbf {x_{0}} )}$ zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )=\mathbf {x_{0}} \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}$

mit der Identität: ${\displaystyle f(x)\delta (x-x_{0})=f(x_{0})\delta (x-x_{0})}$

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )}$

${\displaystyle ({\hat {p}}_{k}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=p_{k}\cdot {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )}$

und der Ortsoperator als Differentialoperator:

${\displaystyle ({\hat {x}}_{j}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )}$

Literatur

• Jochen Pade: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-25226-6, doi:10.1007/978-3-642-25227-3.