Ordnung eines Gruppenelementes

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements ${\displaystyle g}$ einer Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle n>0}$, für die ${\displaystyle g^{n}=e}$ gilt, wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, ${\displaystyle g}$ habe unendliche Ordnung. In Formeln:

${\displaystyle \operatorname {Ord} (g)=\inf\{n\in \mathbb {N} ^{+}:g^{n}=e\}}$

mit der Konvention ${\displaystyle \inf(\emptyset )=+\infty }$. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {o} (g)}$ bezeichnet.

Die Potenz ${\displaystyle g^{n}}$ eines Gruppenelementes ${\displaystyle g}$ ist dabei für natürliche Exponenten ${\displaystyle n\geq 0}$ induktiv definiert:

• ${\displaystyle g^{0}:=e}$
• ${\displaystyle g^{k+1}:=g^{k}\cdot g}$ für alle natürlichen ${\displaystyle k\geq 0}$

Die Zahl ${\displaystyle \exp(G):=\operatorname {kgV} \left\{\operatorname {ord} (g)\,|\,g\in G\right\}}$ wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.

• Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, und diese ist ein Teiler der Gruppenordnung, d. h. der Anzahl der Elemente der Gruppe.
• Umgekehrt existiert in einer endlichen Gruppe nach dem Satz von Cauchy zu jedem Primteiler ${\displaystyle p}$ der Gruppenordnung ein Element, das die Ordnung ${\displaystyle p}$ hat. Für zusammengesetzte Teiler ist keine allgemeine Aussage möglich (während zum trivialen Teiler 1 das neutrale Element ${\displaystyle e=e^{1}}$ gehört).
• Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
• Es gilt ${\displaystyle g^{d}=e}$ genau dann, wenn ${\displaystyle d}$ ein Vielfaches der Ordnung ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)}$ des Elements ${\displaystyle g}$ ist.
• Für jedes ${\displaystyle g\in G}$, welches nicht das neutrale Element ${\displaystyle e}$ ist, gilt: ${\displaystyle g}$ hat genau dann Ordnung 2, wenn es sein eigenes Inverses ist.
• In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes ${\displaystyle g\cdot h}$ ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element ${\displaystyle \left[\!{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\!\right]}$ der Gruppe SL₂(Z) unendliche Ordnung, obwohl es das Produkt der Elemente ${\displaystyle \left[\!{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\!\right]}$ mit der Ordnung 4 und ${\displaystyle \left[\!{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&1\end{smallmatrix}}\!\right]}$ mit der Ordnung 6 ist.

• J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.