Gruppe (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.

Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra. Die Anwendungsgebiete der Gruppen, auch außerhalb der Mathematik, machen sie zu einem zentralen Konzept der gegenwärtigen Mathematik.^[1]

Gruppen teilen eine fundamentale Verwandtschaft mit der Idee der Symmetrie. Beispielsweise verkörpert die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts dessen symmetrische Eigenschaften. Sie besteht aus der Menge derjenigen Abbildungen (z. B. Drehungen), die das Objekt unverändert lassen, und der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Verknüpfung. Lie-Gruppen sind die Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen werden genutzt, um in der Chemie Symmetrie auf molekularer Ebene zu verstehen, und Poincaré-Gruppen können die Symmetrien ausdrücken, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen.

Das Konzept der Gruppe entstand aus Évariste Galois’ Untersuchungen von Polynomgleichungen in den 1830er Jahren.^[2] Nach Beiträgen aus anderen mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie und der Geometrie wurde der Begriff der Gruppe verallgemeinert. Um 1870 war er fest etabliert und wird heute in dem eigenständigen Gebiet der Gruppentheorie behandelt. Um Gruppen zu erforschen, haben Mathematiker spezielle Begriffe entwickelt, um Gruppen in kleinere, leichter verständliche Bestandteile zu zerlegen, wie z. B. Untergruppen, Faktorgruppen und einfache Gruppen. Neben ihren abstrakten Eigenschaften untersuchen Gruppentheoretiker auch Möglichkeiten, wie Gruppen konkret ausgedrückt werden können (Darstellungstheorie), sowohl für theoretische Untersuchungen als auch für konkrete Berechnungen. Eine besonders reichhaltige Theorie wurde für die endlichen Gruppen entwickelt, was 1983 in der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen gipfelte. Diese spielen für Gruppen eine vergleichbare Rolle wie die Primzahlen für natürliche Zahlen.

Eine der bekanntesten Gruppen bildet die Menge der ganzen Zahlen ${\displaystyle \{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}}$, die üblicherweise mit ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bezeichnet wird, zusammen mit der Addition.

Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition erfüllt einige grundlegende Eigenschaften:

• Für zwei ganze Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist die Summe ${\displaystyle a+b}$ wieder eine ganze Zahl. Würde man hingegen zwei ganze Zahlen miteinander dividieren, so wäre das Ergebnis zumeist eine rationale Zahl und keine ganze Zahl mehr. Da dies bei der Addition nicht passieren kann, sagt man, dass die ganzen Zahlen unter der Addition abgeschlossen sind.
• Für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ gilt das Assoziativgesetz

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$.

In Worten ausgedrückt heißt dies, dass es egal ist, ob man zuerst ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ oder ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ addiert, das Ergebnis ist dasselbe. Diese Eigenschaft wird Assoziativität genannt.

• Für jede ganze Zahl ${\displaystyle a}$ gilt

${\displaystyle 0+a=a+0=a}$.

Die Addition mit Null verändert also die Ausgangszahl nicht. Daher nennt man Null das neutrale Element der Addition.

• Für jede ganze Zahl ${\displaystyle a}$ existiert eine ganze Zahl ${\displaystyle b}$, so dass ${\displaystyle a+b=b+a=0}$ gilt. Das heißt, zu jeder ganzen Zahl ${\displaystyle a}$ existiert eine ganze Zahl ${\displaystyle b}$, so dass ihre Summe null ergibt. Die Zahl ${\displaystyle b}$ heißt in diesem Fall das inverse Element von ${\displaystyle a}$ und wird mit ${\displaystyle -a}$ notiert.

Diese vier Eigenschaften der Menge der ganzen Zahlen zusammen mit ihrer Addition werden in der Definition der Gruppe auf andere Mengen mit einer passenden Operation verallgemeinert.

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar ${\displaystyle (G,*)}$ bestehend aus einer Menge ${\displaystyle G}$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle *}$ auf ${\displaystyle G}$. Dabei erfüllt die (in Infixnotation geschriebene) Abbildung

${\displaystyle *\colon \,{\begin{cases}G\times G&\to &G\\(a,b)&\mapsto &a*b\end{cases}}}$

die folgenden, Gruppenaxiome genannten, Forderungen:^[3]

Eine Gruppe ist also ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat.

Wenn ${\displaystyle (G,*)}$ eine Gruppe ist, heißen die Elemente der Menge ${\displaystyle G}$ Elemente der Gruppe, kurz Gruppenelemente.

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für die Existenz des neutralen Elements und der inversen Elemente folgendermaßen ersetzt:

Es gibt ein ${\displaystyle e\in G}$, so dass gilt:

• Für alle ${\displaystyle a\in G}$ gilt: ${\displaystyle e*a=a}$ – hiermit heißt ${\displaystyle e}$ linksneutrales Element.
• Zu jedem ${\displaystyle a\in G}$ existiert ein ${\displaystyle b\in G}$ mit ${\displaystyle b*a=e}$ – so ein Element ${\displaystyle b}$ heißt zum Element ${\displaystyle a}$ linksinverses Element (bezüglich des linksneutralen Elements ${\displaystyle e}$).

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition.^[7]

Eine Gruppe kann auch als eine besondere algebraische Struktur definiert werden. Mit den schwachen Gruppenaxiomen erhält man dann:

Eine Gruppe ist ein Quadrupel ${\displaystyle (G,*,e,{^{-1}})}$ bestehend aus einer Menge ${\displaystyle G}$ sowie einer assoziativen zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle *}$ auf ${\displaystyle G}$, einer nullstelligen Verknüpfung ${\displaystyle e}$ und einer einstelligen Verknüpfung ${\displaystyle ^{-1}}$ auf ${\displaystyle G}$, sodass für jedes ${\displaystyle a\in G}$ gilt ${\displaystyle e*a=a}$ und ${\displaystyle a^{-1}*a=e}$.

Eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

• Kommutativität: Für alle Gruppenelemente ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gilt ${\displaystyle a*b=b*a}$.

Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente ${\displaystyle a,b\in G}$ gibt, für die ${\displaystyle a*b\neq b*a}$ ist, heißt die Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ nicht-abelsch (oder nicht-kommutativ).

Bei einer Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ wird die Mächtigkeit ${\displaystyle |G|}$ auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe ${\displaystyle G=\{a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\}}$ ist die Ordnung also einfach die Anzahl ${\displaystyle n}$ der Gruppenelemente.

Die Ordnung eines Elementes ${\displaystyle g\in G}$ ist definiert durch ${\displaystyle \operatorname {ord} (g):=\min(\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=e\}\cup \{\infty \})}$, wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe ${\displaystyle G}$ repräsentiert.

Bemerkungen:

• In jeder Gruppe hat genau das neutrale Element die Ordnung 1.
• Für endliche Gruppen ${\displaystyle G}$ gilt:

${\displaystyle \forall g\in G\colon \operatorname {ord} (g)\mid |G|}$ (gesprochen: die Ordnung von ${\displaystyle g}$ teilt die Gruppenordnung ${\displaystyle |G|}$)

Häufig wird für die Verknüpfung ${\displaystyle *}$ das Symbol ${\displaystyle \cdot }$ benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann Einselement und wird auch durch ${\displaystyle 1}$ symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden. Für Verknüpfungen von mehreren Elementen wird dann auch das Produktzeichen verwendet. Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ wird die ${\displaystyle n}$-fache Verknüpfung eines Gruppenelements ${\displaystyle a}$ mit sich selbst als Potenz ${\displaystyle a^{n}}$ geschrieben und man definiert ${\displaystyle a^{0}=1}$ sowie ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}}$.

Die Gruppeneigenschaften lassen sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung ${\displaystyle *}$ das Symbol ${\displaystyle +}$ benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann Nullelement und wird durch ${\displaystyle 0}$ symbolisiert. Das zum Gruppenelement ${\displaystyle a}$ inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch ${\displaystyle a^{-1}}$, sondern durch ${\displaystyle -a}$ symbolisiert. Eine ${\displaystyle n}$-fache Summe ${\displaystyle a+a+\dotsb +a}$ wird hier mit ${\displaystyle n\cdot a}$ bezeichnet und man setzt ${\displaystyle 0\cdot a=0}$ sowie ${\displaystyle (-n)\cdot a=n\cdot (-a)}$. Eine abelsche Gruppe kann auf diese Weise als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aufgefasst werden. Üblich ist die additive Schreibweise nur bei abelschen Gruppen, während nicht abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.^[8]

Ist die Verknüpfung aus dem Zusammenhang klar, so schreibt man für eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ häufig nur ${\displaystyle G}$.

Seien ${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}}$ Elemente einer Gruppe ${\displaystyle G}$, wobei ${\displaystyle g_{i}=g_{j}}$ für ${\displaystyle i\neq j}$ erlaubt ist. Als Wort bezeichnet man jedes Produkt der Form

${\displaystyle g_{1}^{\varepsilon _{1}}g_{2}^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n}^{\varepsilon _{n}}}$

der Länge ${\displaystyle n\geq 0}$ mit Exponenten ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$.^[9]

Beispiel: Seien ${\displaystyle a,b,c}$ Elemente einer Gruppe, dann sind

${\displaystyle ab,\quad aab^{-1},\quad b\quad }$ und ${\displaystyle \quad b^{-1}b^{-1}a^{-1}ba}$

Wörter dieser Gruppe.

Häufig fasst man in der Notation sich wiederholende Exponenten zusammen. Beispielsweise kann das Wort

${\displaystyle aaabbc^{-1}c^{-1}a^{-1}b^{-1}b^{-1}b^{-1}ccba^{-1}a^{-1}}$

verkürzt als

${\displaystyle a^{3}b^{2}c^{-2}a^{-1}b^{-3}c^{2}ba^{-2}}$

notiert werden.

Im Folgenden werden einige Beispiele von Gruppen aufgeführt. So werden Gruppen von Zahlen, eine Gruppe mit genau einem Element und Beispiele von zyklischen Gruppen angeführt. Weitere Beispiele zu Gruppen finden sich in der Liste kleiner (endlicher) Gruppen.

• Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition bildet eine (abelsche) Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation ist die Menge der ganzen Zahlen allerdings keine Gruppe (das inverse Element zu 2 wäre 1/2).
• Die Menge der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ beziehungsweise die Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist zusammen mit der Addition eine Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation sind die Mengen ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$ und ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ebenfalls Gruppen.

Die Menge, die nur ein Element ${\displaystyle e}$ hat, kann als Gruppe aufgefasst werden. Da jede Gruppe ein neutrales Element hat, muss genau dieses eine Element dann als das neutrale Element aufgefasst werden. Dann gilt also ${\displaystyle e*e=e}$. Mittels dieser Gleichheit können auch die restlichen Gruppenaxiome bewiesen werden. Die Gruppe mit genau einem Element wird die triviale Gruppe genannt.

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente als Potenz eines ihrer Elemente dargestellt werden können. Unter Verwendung der multiplikativen Notation lauten die Elemente einer zyklischen Gruppe

${\displaystyle \ldots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},e=a^{0},a,a^{2},a^{3},\ldots }$,

wobei ${\displaystyle a^{-2}=a^{-1}\cdot a^{-1}}$ meint und ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe bezeichnet. Das Element ${\displaystyle a}$ wird Erzeuger oder Primitivwurzel der Gruppe genannt. In additiver Notation ist ein Element eine Primitivwurzel, wenn die Elemente der Gruppe durch

${\displaystyle \ldots ,-a-a,-a,0,a,a+a,\ldots }$

dargestellt werden können.

Beispielsweise ist die im ersten Abschnitt betrachtete additive Gruppe der ganzen Zahlen eine zyklische Gruppe mit der Primitivwurzel ${\displaystyle 1}$. Diese Gruppe hat unendlich viele Elemente. Im Gegensatz dazu hat die multiplikative Gruppe der n-ten komplexen Einheitswurzeln endlich viele Elemente. Diese Gruppe besteht aus allen komplexen Zahlen ${\displaystyle z}$, die die Gleichung

${\displaystyle z^{n}=1}$

erfüllen. Die ${\displaystyle n}$ Gruppenelemente können als Eckpunkte eines regulären n-Ecks visualisiert werden. Für ${\displaystyle n=6}$ ist dies in der Grafik auf der rechten Seite geschehen. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation der komplexen Zahlen. Im rechten Bild entspricht also die Multiplikation mit ${\displaystyle z}$ der Drehung des Polygons im Gegenuhrzeigersinn um ${\displaystyle 60^{\circ }}$.

Zyklische Gruppen haben die Eigenschaft, durch die Anzahl ihrer Elemente eindeutig bestimmt zu sein. Das heißt, zwei zyklische Gruppen mit jeweils ${\displaystyle n}$ Elementen sind isomorph, es kann also ein Gruppenisomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen gefunden werden. Insbesondere sind also alle zyklischen Gruppen mit unendlich vielen Elementen isomorph zur zyklischen Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ der ganzen Zahlen.

Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ besteht aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge. Die Gruppenoperation ist die Komposition ${\displaystyle \circ }$ (Hintereinanderausführung) der Permutationen, das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ist endlich und besitzt die Ordnung ${\displaystyle n!}$. Sie ist für ${\displaystyle n\geq 3}$ nicht abelsch.

• Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt. Sind nämlich ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle f}$ neutrale Elemente, dann muss ${\displaystyle e*f=f}$ sein, da ${\displaystyle e}$ neutral ist, und ${\displaystyle e*f=e}$, da ${\displaystyle f}$ neutral ist. Somit folgt ${\displaystyle e=f}$.
• Es gilt die Kürzungsregel: Aus ${\displaystyle a*b=a*c}$ oder ${\displaystyle b*a=c*a}$ mit den Gruppenelementen ${\displaystyle a,b,c}$ folgt jeweils ${\displaystyle b=c}$.^[10] Dies sieht man durch

  ${\displaystyle a*b=a*c\;\Rightarrow \;\underbrace {\left(a^{-1}*a\right)} _{e}*b=\underbrace {\left(a^{-1}*a\right)} _{e}*c\;\Leftrightarrow \;e*b=e*c\;\Leftrightarrow \;b=c}$.

Daraus ergibt sich, dass die Verknüpfungstafel einer (endlichen) Gruppe ein lateinisches Quadrat ist, bei dem in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt.

• Die Gleichung ${\displaystyle a*x=b}$ ist stets eindeutig lösbar und die Lösung ist ${\displaystyle x=a^{-1}*b}$. Ebenso hat ${\displaystyle x*a=b}$ die eindeutige Lösung ${\displaystyle x=b*a^{-1}}$.
• Das zu einem Gruppenelement ${\displaystyle a}$ inverse Element ${\displaystyle a^{-1}}$ ist eindeutig bestimmt. Wenn ${\displaystyle a'}$ und ${\displaystyle a''}$ beide invers zu ${\displaystyle a}$ sind dann folgt:

${\displaystyle a'=a'*\underbrace {\left(a*a''\right)} _{e}=\underbrace {\left(a'*a\right)} _{e}*a''=a''\Rightarrow a'=a''}$

• Es gilt ${\displaystyle e^{-1}=e}$ und ${\displaystyle \left(a^{-1}\right)^{-1}=a}$.
• Für alle Elemente gilt ${\displaystyle \left(a*b\right)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$. Dies folgt aus der Gleichungskette

${\displaystyle \left(a*b\right)*\left(b^{-1}*a^{-1}\right)=a*\underbrace {\left(b*b^{-1}\right)} _{e}*a^{-1}=a*a^{-1}=e}$.

Somit ist ${\displaystyle b^{-1}*a^{-1}}$ zu ${\displaystyle a*b}$ invers.

Gruppenhomomorphismen sind Abbildungen, die die Gruppenstruktur erhalten. Eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$

zwischen zwei Gruppen ${\displaystyle (G,\cdot )}$ und ${\displaystyle (H,*)}$ heißt Gruppenhomomorphismus^[11] oder kurz Homomorphismus, falls die Gleichung

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$

für alle Elemente ${\displaystyle a,b\in G}$ gilt. Ist die Abbildung ${\displaystyle \varphi }$ zusätzlich bijektiv, so heißt sie Gruppenisomorphismus. In diesem Fall nennt man die Gruppen ${\displaystyle (G,\cdot )}$ und ${\displaystyle (H,*)}$ isomorph zueinander.

Mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen bildet die Klasse aller Gruppen eine Kategorie, die üblicherweise mit Grp oder Gr bezeichnet wird.

Zu jeder Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ lässt sich die Gegengruppe ${\displaystyle (G^{\mathrm {op} },\circ ):=(G,\circ )}$ bilden, indem man bei der Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ die Operanden gegenüber ${\displaystyle \cdot }$ vertauscht:^[12][13]

${\displaystyle a\circ b:=b\cdot a}$ für alle ${\displaystyle a,b\in G}$ (gleiche Grundmenge ${\displaystyle G}$).

Ist ${\displaystyle (G,\cdot )}$ abelsch, so ist ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }=G}$.

${\displaystyle G}$ ist die Gegengruppe der Gegengruppe der Gruppe ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle (G^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }=G}$.

Ein Antihomomorphismus ${\displaystyle G\rightarrow H}$ zwischen zwei Gruppen ist ein Homomorphismus ${\displaystyle G\rightarrow H^{\mathrm {op} }}$ bzw. ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\rightarrow H}$.

In der Gruppentheorie werden verschiedene Produkte von Gruppen betrachtet:

• Das direkte Produkt ist durch das kartesische Produkt der Trägermengen zusammen mit der komponentenweisen Verknüpfung gegeben.

• Das semidirekte Produkt ist eine Verallgemeinerung des direkten Produkts, wobei die eine Gruppe auf der zweiten operiert. Es kann auch als inneres semidirektes Produkt zwischen einem Normalteiler und einer Untergruppe einer gegebenen Gruppe realisiert sein.

• Das Kranzprodukt ist ein spezielles semidirektes Produkt.

• Das Komplexprodukt zweier Untergruppen einer gegebenen Gruppe ist durch paarweise Verknüpfung der Untergruppenelemente gegeben. Dieses Produkt ist allgemeiner auch für zwei beliebige Teilmengen der Gruppe sinnvoll.

• Das freie Produkt stellt das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Gruppen dar.

• Das amalgamierte Produkt ist eine Verallgemeinerung des freien Produkts, bei dem die Elemente einer gemeinsamen Untergruppe miteinander verschmolzen („amalgamiert“) werden.

1. ↑ George G. Hall: Applied group theory. American Elsevier, New York 1967, S. 1.
2. ↑ Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 358. 
3. ↑ Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 11.
4. ↑ Damit ist die klammerlose Schreibweise ${\displaystyle a*b*c:=(a*b)*c}$ wohldefiniert.
5. ↑ Die Forderung der Eindeutigkeit ist redundant, denn aus der Maßgabe folgt: Ist ${\displaystyle f}$ ein neutrales Element, dann ist ${\displaystyle f=f*e=e.}$
6. ↑ Die Forderung der Eindeutigkeit ist redundant, denn aus der Maßgabe folgt: Ist ${\displaystyle b}$ ein zu ${\displaystyle a}$ inverses Element, dann ist ${\displaystyle b=b*e=b*(a*a^{-1})=(b*a)*a^{-1}=e*a^{-1}=a^{-1}.}$
7. ↑ Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer-Lehrbuch, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3, S. 14. 
8. ↑ Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 11–12.
9. ↑ Oleg Vladimirovič Bogopolʹskij: Introduction to Group Theory. Hrsg.: European Mathematical Society. Schweiz 2008, S. 53. 
10. ↑ Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 6.
11. ↑ Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 13.
12. ↑ Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4, n°1; Paris, Hermann, 1970, p.29.
13. ↑ Opposite Group. Planet Math, abgerufen am 2. November 2021 (englisch).