Orbifaltigkeit

In der Topologie ist eine Orbifaltigkeit (englisch: Orbifold) eine Verallgemeinerung einer Mannigfaltigkeit.

Definition

Wie auch eine Mannigfaltigkeit wird eine Orbifaltigkeit durch lokale Eigenschaften beschrieben. Anders als eine Mannigfaltigkeit, die lokal eine offene Teilmenge des darstellt, wird eine Orbifaltigkeit lokal durch Quotienten von offenen Teilmengen des nach endlichen Gruppenoperationen beschrieben.

Eine -dimensionale Orbifaltigkeit ist ein topologischer Hausdorff-Raum , den man den unterliegenden Raum nennt, mit einer Überdeckung durch offene Teilmengen , die abgeschlossen ist unter endlichen Schnitten. Für jedes gibt es:

  • eine offene Teilmenge des , welche invariant unter einer treuen endlichen Gruppenoperation ist;
  • eine stetige Abbildung von nach , die invariant unter ist, auch Karte der Orbifaltigkeit genannt.

Eine Menge von Karten nennt man einen Atlas der Orbifaltigkeit, wenn folgendes gegeben ist:

  • Für jede Inklusion gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus und einen -äquivarianten Homöomorphismus von auf eine offene Teilmenge von (auch als Verklebeabbildung bezeichnet), der mit den Karten kompatibel ist, d. h.:
.
Die Verklebeabbildung soll bis auf Translation eindeutig sein, d. h., zu zwei Verklebeabbildungen soll es ein mit geben.

Beispiele

  • Ein einfaches Beispiel ist eine Identifizierungstopologie für eine Gruppenwirkung mit Fixpunkten. Es sei die reelle Zahlengerade durch die Koordinate parametrisiert. Nun entsteht durch die Identifizierung ein Fixpunkt in . Der durch Identifizierung entstehende Quotientenraum ist das einfachste Beispiel einer Orbifaltigkeit.
  • Orbifaltigkeiten, die durch Quotientenbildung aus der Wirkung einer endlichen Gruppe auf einer Mannigfaltigkeit entstehen, heißen gute Orbifaltigkeiten.

Anwendung in der Stringtheorie

Wenn die (10 + 1)-dimensionale heterotische Stringtheorie mit einer unterliegenden Mannigfaltigkeit kompaktifiziert wird, ist man meistens daran interessiert, wann man für eine supersymmetrische Theorie in vier Dimensionen erhält. Sind einige Annahmen gegeben, ergibt sich, dass diese unterliegenden Mannigfaltigkeiten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sein müssen. Weil die explizite Metrik für fast alle Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten nicht bekannt ist, versucht man Orbifaltigkeiten zu konstruieren, die ein Limes der jeweiligen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind, wobei hier die Metrik explizit bekannt ist.

Literatur

  • William Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds (Chapter 13), Princeton University lecture notes 1980. PDF
  • Barton Zwiebach: A First Course in String Theory, Cambridge University Press 2004, ISBN 0521831431
  • Katrin Becker, Melanie Becker und John H. Schwarz: String Theory and M-Theory, A modern introduction, Cambridge University Press 2006, ISBN 0521860695
  • Suhyoung Choi: Geometric structures on orbifolds and holonomy representations. Geom. Dedicata 104 (2004), 161–199.