Offene Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist eine offene Mannigfaltigkeit eine Mannigfaltigkeit ohne Rand, deren Zusammenhangskomponenten alle nicht-kompakt sind. Das konträre Konzept einer offenen Mannigfaltigkeit ist das der geschlossenen Mannigfaltigkeit.

Beispiele offener Mannigfaltigkeiten

• der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• jede offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• der punktierte Torus
• die Whitehead-Mannigfaltigkeit

Zahme Enden

Ein Ende einer offenen Mannigfaltigkeit heißt zahm, wenn es eine Folge endlich dominierter Umgebungen ${\displaystyle U_{i}}$ mit

${\displaystyle \bigcap _{i}{\overline {U_{i}}}=\emptyset }$ und ${\displaystyle \pi _{1}U_{i}=\pi _{1}E\ \forall i}$

besitzt. Eine offene Mannigfaltigkeit ist das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn die Enden zahm sind und für alle Enden die Siebenmann-Obstruktion

${\displaystyle \left[E\right]\in \varprojlim _{i\in I}{\widetilde {K_{0}}}(\mathbb {Z} \left[\pi _{1}U_{i}\right])}$

im projektiven Limes der reduzierten algebraischen K-Theorie der Gruppenringe verschwindet, also ${\displaystyle \left[E\right]=0}$ gilt.

Literatur

A. Ranicki, B. Hughes: Ends of complexes, Cambridge Tracts in Mathematics 123, Cambridge University Press (1996).