Obstruktionstheorie

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt die Obstruktionstheorie oder Hindernistheorie die Hindernisse für die Existenz von Schnitten in Faserbündeln.

Obstruktionskozykel

Sei ${\displaystyle p\colon E\to B}$ eine Faserung über einem Simplizialkomplex ${\displaystyle B}$ mit Faser ${\displaystyle F}$. Wir nehmen an, dass bereits ein Schnitt ${\displaystyle s_{n}\colon B_{n}\rightarrow E}$ über dem ${\displaystyle n}$-Skelett von ${\displaystyle B}$ konstruiert wurde und fragen, ob sich dieser Schnitt auf das ${\displaystyle (n+1)}$-Skelett fortsetzen lässt.

Für jeden ${\displaystyle (n+1)}$-Simplex ${\displaystyle \sigma \in B_{n+1}}$ ist ${\displaystyle p^{-1}(\sigma )}$ homotopieäquivalent zu ${\displaystyle F}$ und die Abbildung

${\displaystyle s_{n}\mid _{\partial \sigma }\colon S^{n}\simeq \partial \sigma \to p^{-1}(\sigma )\simeq F}$

definiert ein Element der ${\displaystyle n}$-ten Homotopiegruppe der Faser

${\displaystyle o_{n+1}(\sigma )\in \pi _{n}(F)}$.

Offensichtlich kann der gegebene Schnitt ${\displaystyle s_{n}\mid _{\partial \sigma }\colon \partial \sigma \to E}$ nur dann auf ${\displaystyle \sigma }$ fortgesetzt werden, wenn

${\displaystyle o_{n+1}(\sigma )=0\in \pi _{n}(F)}$.

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle o_{n+1}\colon C_{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)}$ ein Kozykel mit lokalen Koeffizienten ist, er wird als Obstruktionskozykel bezeichnet. Seine Kohomologieklasse (in der Kohomologie mit lokalen Koeffizienten)

${\displaystyle o_{n+1}\in H^{n+1}(B,\pi _{n}(F))}$

heißt ${\displaystyle (n+1)}$-te Obstruktionsklasse. Sie hängt zwar vom gewählten Schnitt ${\displaystyle s_{n}}$ ab, man kann aber zeigen, dass sie tatsächlich nur von seiner Einschränkung auf das ${\displaystyle (n-1)}$-Skelett abhängig ist.

Schnitte in Vektorbündeln

Die wichtigste Anwendung der Obstruktionstheorie ist auf die Frage nach der Existenz von ${\displaystyle k}$ linear unabhängigen Schnitten in einem Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle n}$, für ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$, oder äquivalent nach der Existenz eines Schnittes im ${\displaystyle k}$-Rahmenbündel

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to V_{k}(E)\to B}$,

dessen Faser die Stiefel-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist.

Wegen ${\displaystyle \pi _{i}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))=0}$ für ${\displaystyle 0\leq i\leq n-k-1}$ kann man einen solchen Schnitt auf dem ${\displaystyle (n-k)}$-Skelett ${\displaystyle B_{n-k}}$ konstruieren, das Hindernis für die Fortsetzung auf das ${\displaystyle (n-k+1)}$-Skelett ist dann die oben definierte Obstruktionsklasse

${\displaystyle o_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))).}$

Stiefel-Whitney-Klassen

Die Stiefel-Whitney-Klassen wurden von Stiefel und Whitney ursprünglich als Obstruktionsklassen definiert. Die Homotopiegruppe ${\displaystyle \pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))}$ ist entweder isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ (falls ${\displaystyle k>1}$ und ${\displaystyle n-k+1}$ gerade ist) oder sonst unendlich zyklisch, kann also in jedem Fall surjektiv auf ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ abgebildet werden. Das Bild der Obstruktionsklasse unter dieser Abbildung ist die Stiefel-Whitney-Klasse

${\displaystyle w_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$.

Euler-Klasse

Für ${\displaystyle k=1}$ ist ${\displaystyle \pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))=\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))=\pi _{n-1}(S^{n})=\mathbb {Z} }$, für orientierbare Vektorbündel ist die Kohomologie mit lokalen Koeffizienten ${\displaystyle H^{n}(B,\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n})))}$ isomorph zu ${\displaystyle H^{n}(B,\mathbb {Z} )}$ und die so definierte Obstruktionsklasse ist die Euler-Klasse

${\displaystyle e(E)\in H^{n}(B,\mathbb {Z} )}$.

Analog kann man die Euler-Klasse für beliebige Sphärenbündel, also für Faserbündel mit Faser ${\displaystyle S^{n-1}}$ definieren: wegen ${\displaystyle \pi _{i}(S^{n-1})=0}$ für ${\displaystyle 0<i<n-1}$ gibt es einen Schnitt auf dem ${\displaystyle (n-1)}$-Skelett der Basis und die Obstruktion für die Fortsetzung auf das ${\displaystyle n}$-Skelett ist die Euler-Klasse

${\displaystyle e(E)\in H^{n}(B,\mathbb {Z} )}$.

(Im Falle des Einheitssphärenbündels eines orientierten Vektorbündels stimmt die Euler-Klasse des Sphärenbündels mit der Euler-Klasse des Vektorbündels überein.)

Literatur

• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies. No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 12)
• Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. (= Princeton Mathematical Series. vol. 14). Princeton University Press, Princeton, N. J. 1951 (Kapitel 25, 35, 38)
• George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory. (= Graduate Texts in Mathematics. 61). Springer Verlag, 1978, ISBN 1-4612-6320-4.