Nullmodul

Der Nullmodul ist in der Mathematik ein Modul, der nur aus einem Element, dem Nullelement, besteht. In der Kategorie der Moduln über einem gegebenen Ring ist der Nullmodul das Nullobjekt.

Definition

Der Nullmodul ${\displaystyle (\{0\},+,\cdot )}$ ist ein Modul über einem beliebigen Ring ${\displaystyle R}$ bestehend aus der einelementigen Menge ${\displaystyle \{0\}}$ versehen mit der einzig möglichen Addition gegeben durch

${\displaystyle 0+0=0}$

und der einzig möglichen Multiplikation gegeben durch

${\displaystyle r\cdot 0=0}$

für alle Elemente ${\displaystyle r\in R}$.

Kategorientheorie

In der Kategorie aller Moduln über einem gegebenen Ring mit den Modulhomomorphismen als Morphismen ist der Nullmodul das Nullobjekt: Von jedem Modul aus existiert genau ein Homomorphismus in den Nullmodul und vom Nullmodul existiert in jeden Modul genau ein Homomorphismus, nämlich jeweils die Nullfunktion, die gerade der jeweilige Nullmorphismus ist.

Siehe auch

• Nullvektorraum

Literatur

• Michael Artin: Algebra. Birkhäuser, Basel u. a. 1998, ISBN 3-7643-5938-2.