Absorbierendes Element

Ein absorbierendes Element ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur.

Definition

Es sei die Trägermenge einer algebraischen Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung . Ein Element heißt linksabsorbierend (bezüglich ), wenn für alle gilt:

.

Analog heißt ein Element rechtsabsorbierend (bezüglich ), wenn für alle gilt:

.

Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsabsorbierend ist (bezüglich ), nennt man absorbierend (bezüglich ), manchmal auch Nullelement (so wird aber häufig auch das neutrale Element einer additiv notierten Halbgruppe genannt!).

Eigenschaften

Zu einer zweistelligen Verknüpfung auf einer Menge gibt es höchstens ein absorbierendes Element , denn für absorbierende Elemente gilt:

.

Ein links- oder rechts-absorbierendes Element ist immer idempotent:

.

In einer Quasigruppe (und damit auch in einer Gruppe) mit mindestens zwei Elementen mit gibt es kein (links-/rechts-)absorbierendes Element , denn sonst hätte bzw. mindestens die zwei Lösungen , wäre somit nicht, wie für Quasigruppen gefordert, eindeutig lösbar.

Beispiele

Ein bekanntes Beispiel ist die Null, die in jedem Ring, so auch im Ring der ganzen Zahlen, bezüglich der Multiplikation absorbierendes Element ist: jede Zahl mit Null multipliziert ergibt Null.

In jedem beschränkten Verband gibt es zu beiden Verknüpfungen ein absorbierendes Element: Beispielsweise ist in der Aussagenlogik die wahre Aussage bezüglich der Verknüpfung mit „oder“ absorbierendes Element, die falsche Aussage ist bezüglich der Verknüpfung mit „und“ absorbierendes Element.

Siehe auch

Literatur

  • U. Hebisch; H. J. Weinert: Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2.