Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff

Das Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff (englisch Kolmogorov’s normability criterion) ist ein Lehrsatz der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Es geht zurück auf eine Arbeit des russischen Mathematikers Andrej Kolmogoroff aus dem Jahr 1934.

Kriterium

Das Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff besagt:

Die Topologie ${\displaystyle \tau }$ eines hausdorffschen topologischen Vektorraums ${\displaystyle (E,\tau )}$ wird genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn dessen Nullvektor eine Umgebung besitzt, welche eine zugleich beschränkte und konvexe Teilmenge von ${\displaystyle (E,\tau )}$ ist.

Ist die genannte Bedingung erfüllt, so ist ${\displaystyle (E,\tau )}$ ein normierbarer Raum.

Anwendungsbeispiel

Obige Charakterisierung normierbarer Räume kann verwendet werden, um festzustellen, dass ein Raum nicht normierbar ist:

Der Folgenraum

${\displaystyle \omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }{\mathbb {K} }}$

aller ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Folgen (${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$), versehen mit der Produkttopologie, ist ein unendlich-dimensionaler vollständig metrisierbarer topologischer Vektorraum, in welchem die Nullfolge ${\displaystyle (0)_{n\in \mathbb {N} }}$ keine beschränkte Umgebung besitzt. Daher ist ${\displaystyle \omega }$ nicht normierbar.

Historisches

Walter Rudin verweist in seiner Functional Analysis (2. Auflage, S. 400) darauf, dass das Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff möglicherweise den ersten Lehrsatz der Theorie der lokalkonvexen Räume darstellt.

Literatur

• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 30, 400 (MR1157815). 
• Sterling K. Berberian: Lectures in Functional Analysis and Operator Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 15). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1974, ISBN 0-387-90080-2, S. 55–56, 106–108 (MR0417727). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 437. 
• A. Kolmogoroff: Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes. In: Studia Mathematica. Band 5, 1934, S. 29–33 (matwbn.icm.edu.pl [PDF]).