Normaler Zustand

Normale Zustände werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um gewisse stetige, lineare Funktionale auf einer Von-Neumann-Algebra.

Definitionen

Es sei eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum . Ein Zustand ist ein lineares Funktional mit und für alle . Man kann zeigen, dass Zustände automatisch stetig sind mit , das gilt sogar für jede C*-Algebra. Für Von-Neumann-Algebren stehen weitere Operatortopologien zur Verfügung und es ist daher nur natürlich, Stetigkeitseigenschaften bzgl. dieser Topologien zu studieren.

Ferner sind Von-Neumann-Algebren gegenüber der Supremumsbildung nach oben gerichteter Familien selbstadjungierter Elemente abgeschlossen. Dabei ist die Ordnung für durch die Bedingung für alle definiert. Man wird Zustände betrachten wollen, die Suprema erhalten. Wir definieren daher:

Ein Zustand auf der Von-Neumann-Algebra heißt normal, wenn folgendes gilt: Ist ein monoton wachsendes Netz in mit Supremum , so gilt .[1]

Ein Spezialfall eines monotonen Netzes entsteht durch eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen, das heißt von Elementen mit und für alle . Dann ist die Familie aller endlichen Summen von Elementen dieser Familie ein aufsteigendes Netz von Orthogonalprojektionen, dessen Supremum man die Summe nennt.

Ein Zustand auf der Von-Neumann-Algebra heißt vollständig additiv, wenn folgendes gilt: Ist eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen in , so ist .[2]

Charakterisierung normaler Zustände

Definitionsgemäß ist die vollständige Additivität schwächer als die Normalität, da bei ersterer nur die Supremumsbildung ganz bestimmter Netze gefordert wird. Da Orthogonalprojektionen die Norm 1 haben, handelt es sich zudem um eine Bedingung, die auf die Einheitskugel von beschränkt ist. Es gilt [3][4]:

Für einen Zustand auf der Von-Neumann-Algebra sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist normal.
  • ist vollständig additiv.
  • Es gibt einen positiven Spurklasseoperator mit für alle
  • ist bzgl. der ultraschwachen Topologie stetig.
  • ist bzgl. der ultrastarken Topologie stetig.
  • ist bzgl. der schwachen Operatortopologie stetig.
  • ist bzgl. der starken Operatortopologie stetig.

Dabei bedeutet die Einschränkung von auf die Einheitskugel . Die ersten beiden Bedingungen beziehen sich nur auf die Ordnungsstruktur der Von-Neumann-Algebra und diese lässt sich sogar rein algebraisch definieren, denn ist äquivalent zu für ein . Obiger Satz zeigt, dass diese Bedingungen zu rein topologischen Bedingungen äquivalent sind.

Prädual

Die Stetigkeitsbedingungen in obiger Liste äquivalenter Bedingungen kann man auch an beliebige lineare Funktionale stellen; man spricht dann von normalen Funktionalen. Die normalen Funktionale bilden einen Unterraum des Dualraums von . Dieser ist normabgeschlossen und wird von den normalen Zuständen erzeugt; er wird mit bezeichnet.

Jedes Element der Von-Neumann-Algebra definiert mittels ein stetiges lineares Funktional auf und man kann zeigen, dass ein isometrischer Isomorphismus ist. In diesem Sinne ist der Dualraum von ; letzteren nennt man daher den Prädualraum von .[5]

Diese Überlegungen zeigen, dass jede Von-Neumann-Algebra als Dualraum eines Banachraums auftritt. Nach einem Satz von S. Sakai charakterisiert dies die Von-Neumann-Algebren und den C*-Algebren.

Darstellungen

Bekanntlich definiert jeder Zustand auf einer C*-Algebra mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung in die Algebra der Operatoren auf einem Hilbertraum . Ist eine Von-Neumann-Algebra und ein normaler Zustand, so ist ultraschwach stetig und das Bild ist eine Von-Neumann-Algebra.[6]

Siehe auch

  • σ-endliche Von-Neumann-Algebren zeichnen sich dadurch aus, dass es auf ihnen einen treuen, normalen Zustand gibt.

Einzelnachweise

  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Definition 7.1.11
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Definition 7.1.11
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 7.1.12
  4. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Theorem 2.4.21
  5. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Satz 2.4.18
  6. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Theorem 2.4.24