Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

Ist ${\displaystyle X}$ ein Hilbertraum und bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X)}$ die Menge aller stetigen Endomorphismen von ${\displaystyle X}$, so heißt ein Operator ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}$ normal, falls er mit seinem adjungierten Operator ${\displaystyle A^{\ast }}$ kommutiert, also wenn

${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A}$

gilt.

Beispiele

• Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind offenbar normal.
• Der unilaterale Shift ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.

Eigenschaften

Sei ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}$ ein normaler Operator. Dann gilt:

• ${\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$
• ${\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$
• Die Operatornorm von ${\displaystyle A}$ ist gleich dem Spektralradius: ${\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma (A)\}.}$ Dabei bezeichnet ${\displaystyle \sigma (A)}$ das Spektrum von ${\displaystyle A}$.
• Die von ${\displaystyle A}$ erzeugte C^*-Algebra und die von ${\displaystyle A}$ erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall ${\displaystyle \{0\}}$ ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
• Ein beschränkter Operator ${\displaystyle A}$ in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in ${\displaystyle A=W_{1}+i\,W_{2}}$ mit dem „Realteil“ ${\displaystyle W_{1}={\tfrac {1}{2}}(A+A^{\ast })}$ und dem „Imaginärteil“ ${\displaystyle W_{2}={\tfrac {1}{2i}}(A-A^{\ast }).}$ Dabei sind die Operatoren ${\displaystyle W_{i}}$ selbstadjungiert. ${\displaystyle A}$ ist genau dann normal, wenn ${\displaystyle W_{1}W_{2}=W_{2}W_{1}}$.

Verwandte Begriffe

Ein Operator ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}$ heißt

• quasinormal, falls ${\displaystyle A\,\!}$ mit ${\displaystyle A^{\ast }A}$ vertauscht, das heißt ${\displaystyle AA^{\ast }A=A^{\ast }AA}$.
• subnormal, falls es einen Hilbertraum ${\displaystyle Y}$ gibt, so dass ${\displaystyle X}$ Unterraum von ${\displaystyle Y}$ ist, und einen normalen Operator ${\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y)}$, so dass ${\displaystyle B(X)\subset X}$ und ${\displaystyle A=B|_{X}}$.
• hyponormal, falls ${\displaystyle \|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$.
• paranormal, falls ${\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$.
• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: ${\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}}$.

Es gelten folgende Implikationen:

normal ${\displaystyle \Rightarrow }$ quasinormal ${\displaystyle \Rightarrow }$ subnormal ${\displaystyle \Rightarrow }$ hyponormal ${\displaystyle \Rightarrow }$ paranormal ${\displaystyle \Rightarrow }$ normaloid.

Unbeschränkte Operatoren

Ein unbeschränkter Operator ${\displaystyle A:D(A)\subseteq X\to X}$ mit Definitionsbereich ${\displaystyle D(A)}$ heißt normal falls

${\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|,\qquad \forall x\in D(A)=D(A^{\ast })}$

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt ${\displaystyle A^{\ast }=A}$.

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)