Normale Familie

In der Mathematik sind normale Familien vor allem in der Funktionentheorie und der komplexen Dynamik von Bedeutung.

Allgemeine Definition

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ vollständige metrische Räume. Eine Menge ${\displaystyle F}$ stetiger Funktionen

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

ist eine normale Familie, wenn jede Folge in ${\displaystyle F}$ eine kompakt konvergente Teilfolge mit (dann automatisch stetiger) Grenzfunktion ${\displaystyle f_{\infty }}$ enthält.

Es hat also jede Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ in ${\displaystyle F}$ eine Teilfolge ${\displaystyle (f_{n_{k}})_{k}}$ mit

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}(f_{n_{k}}(x),f_{\infty }(x))=0}$

für alle kompakten Teilmengen ${\displaystyle K\subset X}$.

Normale Familien in der Funktionentheorie

In der Funktionentheorie wählt man im Allgemeinen als Definitionsbereich ${\displaystyle X}$ ein Gebiet in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und als Zielraum ${\displaystyle Y}$ die Riemannsche Zahlenkugel, versehen mit der chordalen Metrik. Aus dem Weierstraßschen Konvergenzsatz folgt, dass der Grenzwert einer kompakt konvergenten Folge holomorpher Funktionen wieder holomorph oder konstant gleich ${\displaystyle \infty }$ ist.

Der kleine Satz von Montel besagt, dass eine lokal gleichmäßig beschränkte Familie holomorpher Funktionen normal ist. Nach dem großen Satz von Montel ist eine Familie holomorpher Funktionen normal, wenn es ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle a\neq b}$ gibt, so dass keine Funktion der Familie einen der Werte ${\displaystyle a}$ oder ${\displaystyle b}$ annimmt.

Literatur

• Paul Montel: Sur les familles normales des fonctions analytiques, Ann. ENS 33, 233-302 (1916).
• Joel Schiff: Normal families. Springer, 1993, ISBN 978-1-4612-0907-2
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 3540404325