Nielsen-Transformation

In der Mathematik sind Nielsen-Transformationen ein wichtiges Hilfsmittel der kombinatorischen Gruppentheorie, sie sind nach dem Mathematiker Jakob Nielsen benannt.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ ein geordnetes n-Tupel von Elementen aus ${\displaystyle G}$. Eine elementare Nielsen-Transformation ist eine der folgenden drei Typen von Ersetzungen:

• Für ein ${\displaystyle i\in \left\{1,\ldots ,n\right\}}$ ersetze ${\displaystyle g_{i}}$ durch ${\displaystyle g_{i}^{-1}}$.
• Für zwei ${\displaystyle i\not =j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}}$ vertausche ${\displaystyle g_{i}}$ und ${\displaystyle g_{j}}$.
• Für zwei ${\displaystyle i\not =j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}}$ ersetze ${\displaystyle g_{i}}$ durch ${\displaystyle g_{i}g_{j}}$.

Eine Nielsen-Transformation ist eine Folge endlich vieler elementarer Nielsen-Transformationen. Zwei geordnete Tupel heißen Nielsen-äquivalent, wenn sie durch eine Nielsen-Transformation auseinander hervorgehen.

Anwendungen

Erzeugendensysteme freier Gruppen

Sei ${\displaystyle F_{n}}$ die freie Gruppe mit ${\displaystyle n}$ Erzeugern ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem ${\displaystyle n}$ Elemente und ein ${\displaystyle n}$-Tupel ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle F_{n}}$, wenn die geordneten Tupel ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ und ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ Nielsen-äquivalent sind.^[1][2]

Erzeugendensysteme von Flächengruppen

Sei ${\displaystyle \pi _{1}S_{g}=\langle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}\mid \Pi _{i=1}^{g}\left[a_{i},b_{i}\right]=1\rangle }$ die Flächengruppe vom Geschlecht ${\displaystyle g}$. Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem ${\displaystyle 2g}$ Elemente und ein ${\displaystyle 2g}$-Tupel ${\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{2g}}$ ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle \pi _{1}S_{g}}$, wenn die geordneten Tupel ${\displaystyle (a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g})}$ und ${\displaystyle (h_{1},\ldots ,h_{2g})}$ Nielsen-äquivalent sind.^[3]

Literatur

1. ↑ Jakob Nielsen: Über die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation. Math. Ann. 79 (1918), no.3, 269-272. doi:10.1007/BF01458209
2. ↑ Jakob Nielsen: Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien. Math. Tidsskrift B (1921), 78-94.
3. ↑ Heiner Zieschang: Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam. Invent. Math. 10 (1970), 4-37. doi:10.1007/BF01402968