Nichtkommutatives Polynom

Nichtkommutative Polynome stellen eine Verallgemeinerung der Polynome dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.

Definition

Sei ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ eine Menge und ${\displaystyle W({\mathcal {X}})}$ das freie Monoid über ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$. (Dann ist ${\displaystyle W({\mathcal {X}})=\{x_{1}\cdots x_{n}|x_{i}\in {\mathcal {X}},\;n\geq 1\}\cup \{1\}}$) Sei ${\displaystyle R}$ ein Ring. Der nichtkommutative Polynomring über ${\displaystyle R}$ ist definiert als

${\displaystyle R\langle {\mathcal {X}}\rangle :=\{\sum _{x\in W({\mathcal {X}})}r_{w}w|r_{w}\in R,\;r_{w}=0\;\operatorname {f{\ddot {u}}r} {\text{ fast alle }}w\}\cong \bigoplus _{w\in W({\mathcal {X}})}R}$

Die Addition auf ${\displaystyle R\langle {\mathcal {X}}\rangle }$ wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung

${\displaystyle \sum _{w}a_{w}w\cdot \sum _{w}b_{w}w:=\sum _{w}(\sum _{uv=w}a_{u}b_{v})w}$

definiert.

Eigenschaften

• Für endliche Mengen ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ schreibt man ${\displaystyle R\langle X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$.
• ${\displaystyle R\langle X\rangle =R[X]}$ für eine Variable ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle R\langle {\mathcal {X}}\rangle /[R\langle {\mathcal {X}}\rangle ,R\langle {\mathcal {X}}\rangle ]=R[{\mathcal {X}}]}$

Siehe auch

• nichtkommutative Potenzreihe
• Polynom