Nicht-fortsetzbare Lösung

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen erhält man aus dem Satz von Peano und dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer lokalen Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems. Man ist vor allem daran interessiert, ob man diese Lösung immer weiter fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung (gelegentlich auch maximale Lösung genannt) gelangt. In einem zweiten Schritt ist man an dem Grund für die Nicht-Fortsetzbarkeit interessiert. Dies wird durch den Satz vom maximalen Existenzintervall geklärt.

Typischerweise werden die Ergebnisse in folgender Reihenfolge angewandt:

• Zunächst zeigt man mit dem Satz von Peano oder dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer (ggf. eindeutigen) lokalen Lösung des Anfangswertproblems.
• Daraus folgt mit dem unten angegebenen Satz die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung des Anfangswertproblems. Deren Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der gronwallschen Ungleichung.
• Mit Hilfe des Satzes vom maximalen Existenzintervall kann man durch Ausschluss der übrigen Alternativen (beispielsweise mit Vergleichsargumenten) folgern, dass diese nicht-fortsetzbare Lösung global ist.

Im Folgenden sei stets ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$.

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}}$ und ${\displaystyle F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}}$ stetig. Weiter sei ${\displaystyle y\in C([a,b);\mathbb {K} ^{n})\cap C^{1}((a,b);\mathbb {K} ^{n})}$ eine Lösung von

${\displaystyle \ y'=F(x,y)}$

auf ${\displaystyle (a,b)}$. Dann gibt es ein ${\displaystyle x^{+}\in [b,\infty )}$ und eine Lösung ${\displaystyle u}$ obiger Differentialgleichung auf ${\displaystyle (a,x^{+})}$ mit den Eigenschaften:

• ${\displaystyle y(x)=u(x)}$ auf ${\displaystyle [a,b)}$.
• Es gibt kein ${\displaystyle s^{+}>x^{+}}$, so dass ${\displaystyle u}$ zu einer Lösung auf ${\displaystyle (a,s^{+})}$ fortgesetzt werden kann.

Dieser Satz wird bewiesen, indem man eine partielle Ordnung auf der Menge aller Lösungen derart einführt, dass maximale Elemente stets nicht-fortsetzbare Lösungen sind. Deren Existenz wird mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn bewiesen. Details sind im Beweisarchiv zu finden. Auf Grund dieses Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfangswertproblems ${\displaystyle y'=F(x,y),y(a)=y_{0}}$ (für stetiges ${\displaystyle F}$).

Der Satz vom maximalen Existenzintervall

Hat man eine nicht-fortsetzbare Lösung vorliegen, möchte man wissen, was am Rand ihres Definitionsbereichs passiert. Das Ausschließen dieses Phänomens würde dann nämlich Globalität dieser Lösung nach sich ziehen.

Formulierung

Sei ${\displaystyle D\subset \mathbb {K} ^{n}}$ und ${\displaystyle F:[a,b)\times D\rightarrow \mathbb {K} ^{n}}$ stetig; dabei sei explizit ${\displaystyle b=\infty }$ zugelassen. Betrachte die Differentialgleichung

${\displaystyle y'=F(x,y)\ .}$

Dann gilt für jede nicht-fortsetzbare Lösung ${\displaystyle y:[a,x^{+})\rightarrow D}$

• ${\displaystyle \ x^{+}=b}$ (Globalität) oder
• ${\displaystyle \lim _{x\nearrow x^{+}}\min \left\{{\rm {dist}}(y(x),\partial D),{\frac {1}{\|y(x)\|}}\right\}=0\ .}$

Hierin sei ${\displaystyle {\rm {dist}}(z,\emptyset ):=\infty }$ vereinbart.

Variante für lokal Lipschitz-stetige Differentialgleichung

Seien ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}}$, ${\displaystyle F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}}$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen und ${\displaystyle y:(x^{-},x^{+})\rightarrow \mathbb {K} ^{n}}$ eine nicht-fortsetzbare Lösung von ${\displaystyle \ y'=F(x,y)}$. Dann gilt

• ${\displaystyle x^{+}=\infty }$ (Globalität) oder
• ${\displaystyle \lim _{x\nearrow x^{+}}\|y(x)\|=\infty }$ oder
• es gibt eine Folge ${\displaystyle x_{j}\nearrow x^{+}}$, so dass der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{j\rightarrow \infty }y(x_{j})=:y^{\star }}$ existiert mit ${\displaystyle (x^{+},y^{\star })\in \partial G}$.

Literatur

• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.
• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.

Weblinks

Wikibooks: Beweis der Existenz nicht-fortsetztbarer Lösungen