Neyman-Kriterium

Das Neyman-Kriterium ist in der mathematischen Statistik ein Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken bei statistischen Modellen mit dominierten Verteilungsklassen. Das Neyman-Kriterium leitet sich aus dem Satz von Halmos-Savage ab, ist aber leichter anzuwenden als dieser. Somit ist das Neyman-Kriterium eines der gängigsten Kriterien, um zu überprüfen, ob eine Abbildung Daten ohne Informationsverlust komprimiert.

Es ist nach Jerzy Neyman benannt.

Aussage

Für σ-Algebren

Gegeben sei ein statistisches Modell mit dominierter Verteilungsklasse , die von dominiert wird, sowie eine Unter-σ-Algebra von .

Dann ist suffizient genau dann, wenn eine -messbare Funktion existiert und für jedes eine -messbare Funktion existiert, so dass

gilt bis auf eine -Nullmenge. Dabei ist die Radon-Nikodým-Ableitung von bezüglich .

Für Statistiken

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist eine Statistik

suffizient genau dann, wenn eine -messbare Funktion existiert und für jedes eine -messbare Funktion existiert, so dass

gilt bis auf eine -Nullmenge. Dies folgt aus dem Faktorisierungslemma und der Tatsache, dass eine suffiziente Statistik ist genau dann, wenn eine suffiziente σ-Algebra ist.

Beispiel: Suffizienz der Exponentialfamilie

Per Definition hat für die Exponentialfamilie bezüglich jedes die Dichtefunktion

Dies ist aber bereits genau die oben geforderte Zerlegung. und sind bereits korrekt, man setzt dann nur noch

um zu zeigen, dass eine suffiziente Statistik für die Exponentialfamilie ist.

Literatur

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.