Neyman-Kriterium

Das Neyman-Kriterium ist in der mathematischen Statistik ein Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken bei statistischen Modellen mit dominierten Verteilungsklassen. Das Neyman-Kriterium leitet sich aus dem Satz von Halmos-Savage ab, ist aber leichter anzuwenden als dieser. Somit ist das Neyman-Kriterium eines der gängigsten Kriterien, um zu überprüfen, ob eine Abbildung Daten ohne Informationsverlust komprimiert.

Es ist nach Jerzy Neyman benannt.

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ mit dominierter Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, die von ${\displaystyle \nu }$ dominiert wird, sowie eine Unter-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ suffizient genau dann, wenn eine ${\displaystyle {\mathcal {A}}{-}{\mathcal {B}}([0,\infty ))}$-messbare Funktion ${\displaystyle h}$ existiert und für jedes ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {S}}{-}{\mathcal {B}}([0,\infty ))}$-messbare Funktion ${\displaystyle f_{P}}$ existiert, so dass

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(x)}$

gilt bis auf eine ${\displaystyle \nu }$-Nullmenge. Dabei ist ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)}$ die Radon-Nikodým-Ableitung von ${\displaystyle P}$ bezüglich ${\displaystyle \nu }$.

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist eine Statistik

${\displaystyle T:(\Omega ,{\mathcal {A}})\to (\Omega ^{*},{\mathcal {A}}^{*})}$

suffizient genau dann, wenn eine ${\displaystyle {\mathcal {A}}{-}{\mathcal {B}}([0,\infty ))}$-messbare Funktion ${\displaystyle h}$ existiert und für jedes ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}{-}{\mathcal {B}}([0,\infty ))}$-messbare Funktion ${\displaystyle f_{P}}$ existiert, so dass

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(T(x))}$

gilt bis auf eine ${\displaystyle \nu }$-Nullmenge. Dies folgt aus dem Faktorisierungslemma und der Tatsache, dass ${\displaystyle T}$ eine suffiziente Statistik ist genau dann, wenn ${\displaystyle \sigma (T)}$ eine suffiziente σ-Algebra ist.

Per Definition hat für die Exponentialfamilie ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ bezüglich ${\displaystyle \mu }$ jedes ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ die Dichtefunktion

${\displaystyle f_{\vartheta }(x)={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \mu }}(x)=C(\vartheta )h(x)\exp(\langle Q(\vartheta );T(x)\rangle )}$

Dies ist aber bereits genau die oben geforderte Zerlegung. ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle T}$ sind bereits korrekt, man setzt dann nur noch

${\displaystyle f_{P}(y)={\tilde {f}}_{\vartheta }(y)=C(\vartheta )\exp(\langle Q(\vartheta );y\rangle )}$

um zu zeigen, dass ${\displaystyle T}$ eine suffiziente Statistik für die Exponentialfamilie ist.

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.