Neunerrest

Der Neunerrest einer ganzen Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ist der Rest ${\displaystyle \in \mathbb {N} _{0}}$, den sie bei Division durch 9 lässt, also eine der neun natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oder 8.

${\displaystyle {\text{Neunerrest von }}n=n{\bmod {9}}\quad \in \mathbb {N} _{0}}$

Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {mod} }$ die Modulo-Funktion, die den Rest einer ganzzahligen Division ermittelt, hier also den Rest von ${\displaystyle n:9}$.

Dass diesem Divisionsrest ein eigener Name zugesprochen wurde, rührt von seiner Bedeutung für die sogenannte Neunerprobe her.

Berechnung

Um den Neunerrest einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ zu ermitteln, berechnet man zuerst die dezimale Quersumme ${\displaystyle q(n)}$ dieser Zahl, anschließend die Quersumme dieser Quersumme, also ${\displaystyle q(q(n))}$, und so weiter, bis die iterierte Quersumme ${\displaystyle q(\dotso q(q(n))\dotso )}$ einstellig ist. Falls sich dabei 9 ergibt, wird 9 durch 0 ersetzt, denn der Neunerrest von 9 ist wegen ${\displaystyle 9=1\cdot 9+0}$ („9 dividiert durch 9 ist gleich 1, Rest 0“) nicht gleich 9, sondern gleich 0.

Dieser Berechnungsweg des Neunerrests lässt sich auch auf negative Zahlen ausdehnen, indem man für die Quersumme die Beziehung

${\displaystyle q(-n)=-q(n)}$

heranzieht. Man kann eventuell auftretende negative Neunerreste in positive Reste überführen, indem man (gegebenenfalls auch mehrmals) 9 addiert. Somit kann eine Verallgemeinerung der Neunerrest-Berechnung auf die Menge der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ erreicht werden.

Beispiele

• n = 5387: q(5387) = 5 + 3 + 8 + 7 = 23; q(23) = 2 + 3 = 5. Der Neunerrest von 5387 ist 5.
• n = 5643: q(5643) = 5 + 6 + 4 + 3 = 18; q(18) = 1 + 8 = 9. Der Neunerrest von 5643 ist 0.
• n = –418: q(–418) = –q(418) = –(4 + 1 + 8) = –13; q(–13) = –q(13) = –(1 + 3) = –4; negatives Ergebnis, also 9 hinzuaddieren: –4 + 9 = 5. Der Neunerrest von –418 ist 5.
• n = +418: q(418) = 4 + 1 + 8 = 13; q(13) = 1 + 3 = 4. Der Neunerrest von +418 ist hingegen 4.

Eigenschaften

Satz

Es gilt, dass stets eine (ohne Rest) durch 9 teilbare Zahl entsteht, wenn man von einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ deren Quersumme ${\displaystyle q(n)}$ subtrahiert:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} _{0}\colon \quad {\frac {n-q(n)}{9}}\in \mathbb {N} _{0}}$

Beispiel 1

${\displaystyle {\frac {23456789-q(23456789)}{9}}={\frac {23456789-(2+3+4+5+6+7+8+9)}{9}}={\frac {23456789-44}{9}}={\frac {23456745}{9}}=2606305}$

Herleitung

Mit der dezimalen Zifferndarstellung

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{m-1}10^{k}\cdot z_{k}=z_{0}+10\cdot z_{1}+100\cdot z_{2}+\dotsb +10^{m-1}\cdot z_{m-1}}$

und der Quersumme

${\displaystyle q(n)=\sum _{k=0}^{m-1}z_{k}=z_{0}+z_{1}+z_{2}+\dotsb +z_{m-1}}$

einer m-stelligen natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}n-q(n)&=\sum _{k=0}^{m-1}10^{k}\cdot z_{k}-\sum _{k=0}^{m-1}z_{k}\\&=\sum _{k=0}^{m-1}\left(10^{k}\cdot z_{k}-z_{k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{m-1}\left(10^{k}-1\right)\cdot z_{k}\\&=0\cdot z_{0}+9\cdot z_{1}+99\cdot z_{2}+999\cdot z_{3}+\dotsb +(10^{m-1}-1)\cdot z_{m-1}.\end{aligned}}}$

Hieraus folgt nach Division durch 9

${\displaystyle {\frac {n-q(n)}{9}}=\sum _{k=1}^{m-1}R_{k}\cdot z_{k}=1\cdot z_{1}+11\cdot z_{2}+111\cdot z_{3}+\dotsb +R_{m-1}\cdot z_{m-1}.}$

Dabei ist

${\displaystyle R_{k}:={\frac {10^{k}-1}{9}}={\frac {\overbrace {99\dotso 9} ^{k{\text{ Ziffern}}}}{9}}=\overbrace {11\dotso 1} ^{k{\text{ Ziffern}}}}$, mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$,

die ${\displaystyle k}$-te Repunit (im Dezimalsystem), ihre ${\displaystyle k}$ Ziffern sind alle gleich 1.

Beispiel 2

Bei ${\displaystyle n=5432}$ ist ${\displaystyle z_{0}=2}$, ${\displaystyle z_{1}=3}$, ${\displaystyle z_{2}=4}$ und ${\displaystyle z_{3}=5}$. 5 ist also tausendmal, 4 hundertmal, 3 zehnmal und 2 einmal enthalten. Zieht man die Quersumme ab, bleiben ${\displaystyle 999\cdot 5}$, ${\displaystyle 99\cdot 4}$, ${\displaystyle 9\cdot 3}$ und ${\displaystyle 0\cdot 2}$ übrig, was offensichtlich sowohl einzeln als auch in Summe ohne Rest durch 9 teilbar ist:

${\displaystyle 5432-5-4-3-2=\sum _{k=0}^{3}\left(10^{k}-1\right)\cdot z_{k}=0\cdot 2+9\cdot 3+99\cdot 4+999\cdot 5=9\cdot (1\cdot 3+11\cdot 4+111\cdot 5)=9\cdot 602}$

Andere Stellenwertsysteme

Das oben beschriebene Verfahren zur Ermittlung des Neunerrests ist nur im Dezimalsystem gültig. Für andere Stellenwertsysteme gibt es aber eine analoge Regel: An die Stelle von 9 tritt dort die größte Ziffer des Systems, also die um 1 verminderte Basis des Stellenwertsystems. Im Hexadezimalsystem wird daher mit F₁₆ (= dezimal 15) gerechnet, im Oktalsystem mit 7₈. Man spricht dann vom hexadezimalen „F-Rest“ oder 15er-Rest bzw. vom oktalen 7er-Rest.

Beispiele im Hexadezimalsystem

• n = AD37E9: q(AD37E9) = A + D + 3 + 7 + E + 9 = 38; q(38) = 3 + 8 = B. Der hexadezimale „F-Rest“ (auch 15er-Rest genannt) von AD37E9 ist gleich B.
• n = 210F84: q(210F84) = 2 + 1 + 0 + F + 8 + 4 = 1E; q(1E) = 1 + E = F; aus F wird 0. Der hexadezimale „F-Rest“ von 210F84 ist gleich 0.

Beispiele im Oktalsystem

• n = 17365: q(17365) = 1 + 7 + 3 + 6 + 5 = 26; q(26) = 2 + 6 = 10; q(10) = 1 + 0 = 1. Der oktale 7er-Rest von 17365 ist gleich 1.
• n = 52016734: q(52016734) = 5 + 2 + 0 + 1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 34; q(34) = 3 + 4 = 7; aus 7 wird 0. Der oktale 7er-Rest von 52016734 ist gleich 0.

Siehe auch

• Division mit Rest
• Kongruenz
• Quersumme
• Neuner- und Elferprobe
• Teilbarkeit
• Liste von Operatoren für den Rest einer Division