Negative hypergeometrische Verteilung

Die negative hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem endlichen Träger. Sie gehört zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und lässt sich aus dem Urnenmodell ableiten.

Definition

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ auf dem Träger ${\displaystyle T=\{k,\dots ,k+N-M\}}$ heißt negativ hypergeometrisch verteilt, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle f(n)={\frac {{\binom {n-1}{k-1}}\cdot {\binom {N-n}{M-k}}}{\binom {N}{M}}}={\frac {{\binom {-k}{n-k}}\cdot {\binom {k-M-1}{N-M-n+k}}}{\binom {-M-1}{N-M}}}}$

hat. Dabei ist ${\displaystyle k\leq M\leq N}$. Man schreibt dann ${\displaystyle X\sim \operatorname {NH} (N,M,k)}$.

Herleitung aus dem Urnenmodell

Die negativ hypergeometrische Verteilung entsteht elementar aus dem Urnenmodell. Betrachtet man eine Urne mit ${\displaystyle N}$ Kugeln, von denen ${\displaystyle M}$ markiert sind, und zieht aus dieser Urne ohne Zurücklegen, bis man ${\displaystyle k}$ markierte Kugeln gezogen hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, dafür ${\displaystyle n}$ Ziehungen zu benötigen, negativ hypergeometrisch verteilt.

Denkt man sich dazu in ${\displaystyle N}$ Ziehungen nacheinander alle Kugeln einzeln aus der Urne gezogen, dann gibt es insgesamt ${\displaystyle {\tbinom {N}{M}}}$ Möglichkeiten, die ${\displaystyle M}$ markierten Kugeln auf die ${\displaystyle N}$ Ziehungen zu verteilen. Das Ereignis, dass genau im ${\displaystyle n}$-ten Zug die ${\displaystyle k}$-te markierte Kugel gezogen wird, tritt genau dann ein, wenn in den ${\displaystyle n-1}$ Zügen davor ${\displaystyle k-1}$ markierte Kugeln gezogen werden und in den ${\displaystyle N-n}$ Zügen danach die restlichen ${\displaystyle M-k}$ markierten Kugeln. Hierfür gibt es ${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k-1}}\cdot {\tbinom {N-n}{M-k}}}$ Möglichkeiten.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {k(N+1)}{M+1}}}$

Varianz

Für die Varianz erhält man

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {k(M+1-k)(N-M)(N+1)}{(M+1)^{2}(M+2)}}}$

Weblinks

• A.V. Prokhorov: Negative hypergeometric distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.