Napoleon-Dreieck

Napoleon-Dreieck, benannt nach dem französischen Feldherrn und Kaiser Napoléon Bonaparte, ist ein Begriff der Dreiecksgeometrie.

Definition

Über den Seiten eines gegebenen Dreiecks ABC werden drei gleichseitige Dreiecke gezeichnet und in diesen jeweils die Geometrischen Schwerpunkte (Flächenschwerpunkte) eingetragen. Das Napoleon-Dreieck entsteht durch Verbinden dieser Schwerpunkte.

Werden die gleichseitigen Dreiecke nach außen gerichtet angelegt, so ergibt die Schwerpunktsverbindung das äußere Napoleon-Dreieck, bei Anlage der gleichseitigen Dreiecke nach innen hin erhält man das Innere Napoleon-Dreieck.

Das Napoleon-Dreieck ist – unabhängig von der Form des ursprünglichen Dreiecks – stets gleichseitig, diese Aussage wird auch als Satz von Napoleon bezeichnet.^[1]

Es gibt keine bekannten Hinweise, dass dieser Satz von Napoleon gefunden wurde. In der Zeitschrift The Ladies’ Diary wurde der Satz 1825 von dem britischen Mathematiker William Rutherford erwähnt.^[2][1]

Eigenschaften

Schwerpunkte von Teildreiecken

Der Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks fällt mit dem Schwerpunkt des äußeren Napoleon-Dreiecks und mit dem Schwerpunkt des inneren Napoleon-Dreiecks zusammen.

Flächeninhalte von Teildreiecken

Bildet man die Differenz der Flächeninhalte des äußeren Napoleon-Dreiecks und des inneren Napoleon-Dreiecks, so erhält man den Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.

Entstehung von Sechsecken

Setzt man die an einer Seite des Dreiecks ${\displaystyle AFB}$ angefügte Figur ${\displaystyle ABECD}$ auch an den beiden anderen Seiten des Dreiecks ${\displaystyle AFB}$ an (Figur 1), so entsteht eine unregelmäßige sternförmige Figur mit sechs äußeren Dreiecken (Figur 2). Die Schwerpunkte dieser sechs Dreiecke sind Eckpunkte des regelmäßigen Sechsecks ${\displaystyle PQRSTU}$, dessen drei Diagonalen sich im Schwerpunkt ${\displaystyle V}$ des Napoleon-Dreiecks ${\displaystyle GHK}$ schneiden.

Parkettierung

Das unregelmäßige Sechseck (Figur 3) setzt sich zusammen aus den vier Teildreiecken der Figur ${\displaystyle AFBECD}$, wobei das innere Dreieck ${\displaystyle ABC}$ insgesamt dreimal vorkommt. Mit diesem aus vier Teildreiecken bestehenden Sechseck lässt sich die Ebene parkettieren (Figur 4).^[3]

(Zur besseren Abgrenzung der Parkettbestandteile wurden verschiedene Farben verwendet.)

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  Figur 3: Unregelmäßiges Sechseck (Parkett-Detail)

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  Figur 4: Parkettierung mit Napoleon-Figuren

Folgerung

Die Seiten eines Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ seien in jeweils drei gleichlange Abschnitte unterteilt. Über jedem der drei mittleren Abschnitte sei ein gleichseitiges Dreieck außerhalb von ${\displaystyle ABC}$ errichtet. Dann bilden die Eckpunkte ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ dieser gleichseitigen Dreiecke, die nicht auf den Seiten von ${\displaystyle ABC}$ liegen, ein weiteres gleichseitiges Dreieck. (Figur 5)

Beweis:

Die äußeren Eckpunkte der gelben gleichseitigen Dreiecke sind gleichzeitig Schwerpunkte der Dreiecke über den Seiten von ${\displaystyle ABC}$. Deshalb ist das rot umrandete Dreieck das zu ${\displaystyle ABC}$ gehörige Napoleon-Dreieck und damit gleichseitig. (Figur 6)^[4]

Verallgemeinerung

Ersetzt man in der Definition die drei gleichseitigen Dreiecke durch ähnliche gleichschenklige Dreiecke, so spricht man von einem Kiepert-Dreieck.

Siehe auch

• Satz von Napoleon-Barlotti
• Satz von van Aubel
• Napoleon-Punkt
• Satz von Escher
• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Literatur

• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inner Napoleon Triangle. In: MathWorld (englisch).
• Napoleon-Dreieck – eine Visualisierung mit dem dynamischen Geometrieprogramm GeoGebra
• Eric W. Weisstein: Outer Napoleon Triangle. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Branko Grünbaum: Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?. In: The American Mathematical Monthly, Band 119, Nr. 6 (Juni‒Juli 2012), S. 495–501 (online, JSTOR)
2. ↑ Ulf von Rauchhaupt: Napoleon’s Theorem. In: FAZ.net. 15. August 2019, abgerufen am 24. April 2021. 
3. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 90 und 91
4. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 98 und 279