Satz von Madsen und Weiss

Als Mumford-Vermutung oder Satz von Madsen und Weiss wird in der Mathematik ein Lehrsatz über die Kohomologie der Abbildungsklassengruppe oder des Modulraums Riemannscher Flächen bezeichnet.

Der Beweis stammt von Ib Madsen und Michael Weiss.

Aussage

Sei ${\displaystyle \Sigma _{g,b}}$ die kompakte, orientierbare Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle b}$ Randkomponenten, und sei ${\displaystyle \Gamma _{g,b}}$ ihre Abbildungsklassengruppen, deren Repräsentanten also per Definition alle Randkomponenten festlassen.

Für ${\displaystyle b>0}$ ist

${\displaystyle \Phi \colon \Gamma _{g,b}\to \Gamma _{g+1,b}}$

dadurch definiert, dass die Repräsentanten durch die Identitätsabbildung auf dem zusätzlichen Henkel fortgesetzt werden.

Der Stabilitätssatz von Harer besagt, dass ${\displaystyle \Phi }$ einen Isomorphismus in Gruppenkohomologie in Graden ${\displaystyle *\leq {\frac {2}{3}}(g-1)}$ induziert und dass in diesem Bereich die Kohomologiegruppen unabhängig von ${\displaystyle b>0}$ sind, man sich also auf ${\displaystyle b=1}$ beschränken kann.

Man kann also die stabile Kohomologie der Abbildungsklassengruppe definieren als ${\displaystyle H^{*}(B\Gamma _{g,1})}$ für hinreichend große ${\displaystyle g}$. Die stabile Kohomologie wird notiert als ${\displaystyle H^{*}(B\Gamma _{\infty })}$.

Die Mumford-Vermutung besagte, dass

${\displaystyle H^{*}(B\Gamma _{\infty };\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \left[\kappa _{1},\kappa _{2},\ldots \right]}$

mit den Morita-Miller-Mumford-Klassen ${\displaystyle \kappa _{i}\in H^{2i}(B\Gamma _{\infty };\mathbb {Q} )}$ ist. (Mumford formulierte diese Vermutung für die Kohomologie des Modulraums Riemannscher Flächen, was für rationale Koeffizienten aber mit der Kohomologie der Abbildungsklassengruppe übereinstimmt.)

Madsen-Weiss bewiesen, dass man eine Homotopieäquivalenz

${\displaystyle \mathbb {Z} \times B\Gamma _{\infty }^{+}\to \Omega ^{\infty }\mathbb {C} P_{-1}^{\infty }}$

hat. Daraus folgt insbesondere die Mumford-Vermutung.

Verallgemeinerung in höherer Dimension

Für ${\displaystyle W_{g}=\sharp ^{g}S^{n}\times S^{n}}$ ist ${\displaystyle \lim _{g\to \infty }H^{*}(B\mathrm {Diff} (W_{g},D^{2n});\mathbb {Q} )}$ die von den verallgemeinerten Morita-Miller-Mumford-Klassen ${\displaystyle \kappa _{c}}$ erzeugte Algebra, wobei ${\displaystyle c\in H^{*}(B\mathrm {SO} (2n);\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \left[p_{1},\ldots ,p_{n-1},e\right]}$ alle Monome vom Grad größer als ${\displaystyle 2n}$ durchläuft, in denen ${\displaystyle p_{i}}$ für ${\displaystyle i<{\frac {n}{4}}}$ nicht vorkommt.^[1]

Literatur

• S. Galatius, I. Madsen, U. Tillmann, M. Weiss: The homotopy type of the cobordism category. Acta Math. 202 (2009), no. 2, 195–239.
• G. Powell: The Mumford conjecture (after Madsen and Weiss). Séminaire Bourbaki. Vol. 2004/2005. Astérisque 307 (2006), Exp. No. 944, 247–282
• I. Madsen, M. Weiss: The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 3, 843–941.
• Y. Eliashberg, S. Galatius, N. Mishachev: Madsen-Weiss for geometrically minded topologists. Geom. Topol. 15 (2011), no. 1, 411–472.

Weblinks

• S. Galatius: Lectures on the Madsen-Weiss Theorem
• N. Wahl: The Mumford conjecture, Madsen-Weiss and homological stability for mapping class groups of surfaces
• A. Hatcher: A short exposition of the Madsen-Weiss theorem

Einzelnachweise

1. ↑ S. Galatius, O. Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds. Acta Math. 212 (2014), no. 2, 257–377.