Morita-Miller-Mumford-Klassen

In der Mathematik sind die Morita-Miller-Mumford-Klassen oder MMM-Klassen charakteristische Klassen von Flächenbündeln.

MMM-Klassen von Flächenbündeln

Für ein Flächenbündel ${\displaystyle E\to B}$ sind seine Morita-Miller-Mumford-Klassen definiert durch

${\displaystyle \kappa _{n}(E)=(-1)^{n+1}\pi _{!}((c_{1}(T_{v}E))^{n+1})\in H^{2n}(B;\mathbb {Z} ),n=1,2,\ldots ,}$

wobei ${\displaystyle T^{v}E}$ das vertikale Tangentialbündel, ${\displaystyle c_{1}(T^{v}E)}$ seine erste Chernklasse und ${\displaystyle \pi _{!}}$ der Gysin-Homomorphismus sind.

Modulraum Riemannscher Flächen

Mumford betrachtete den Modulraum ${\displaystyle M_{g}}$ Riemannscher Flächen mit seinem universellen Flächenbündel und dessen tautologischen Klassen (den MMM-Klassen) und stellte die später nach ihm benannte Vermutung auf, dass in hinreichend kleinen Graden die Kohomologie des Modulraums eine polynomielle Algebra in den tautologischen Klassen ist.

Kohomologie von Abbildungsklassengruppen

Mit rationalen Koeffizienten hat man einen Isomorphismus

${\displaystyle H^{*}(M_{g};\mathbb {Q} )=H^{*}(B\Gamma _{g};\mathbb {Q} )}$

zwischen der Kohomologie des Modulraums und der Gruppenkohomologie der Abbildungsklassengruppe. Die tautologischen Klassen des universellen Flächenbündels definieren also Klassen in der Kohomologie der Abbildungsklassengruppe.

Aus der Mumford-Vermutung (und dem Stabilitätssatz von Harer) folgt, dass in Graden ${\displaystyle \leq {\frac {2}{3}}(g-1)}$ die Kohomologie der Abbildungsklassengruppe mit der polynomiellen Algebra in den MMM-Klassen übereinstimmt.

Literatur

• E.Y. Miller: The homology of the mapping class group, vol. 24, J. Diff. Geom., S. 1–14, 1986.
• David Mumford: Towards an enumerative geometry of the moduli space of curves in Arithmetic and Geometry (M. Artin and J. Tate, editors), Progr. Math., vol. 36, Birkhäuser, S. 271–328, 1983.
• S. Morita: Characteristic classes of surface bundles, vol. 90, Invent. Math., S. 551–577, 1987.