Monotoner Dichtequotient

Ein wachsender oder monotoner Dichtequotient, auch wachsender oder monotoner Likelihood-Quotient genannt, ist eine Eigenschaft einer Verteilungsklasse oder eines statistischen Modells in der mathematischen Statistik. Für Modelle mit wachsendem Dichtequotienten lässt sich das Neyman-Pearson-Lemma verallgemeinern und liefert somit die Existenz gleichmäßig bester Schätzer.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ mit ${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} }$. Des Weiteren existiere für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ${\displaystyle f_{\vartheta }(x)}$. Definiere

${\displaystyle R_{\vartheta \colon {\overline {\vartheta }}}:={\frac {f_{\overline {\vartheta }}(x)}{f_{\vartheta }(x)}}}$

die Dichtequotientenfunktion.

Existiert nun für alle ${\displaystyle \vartheta <{\overline {\vartheta }}}$ eine Statistik

${\displaystyle T\colon X\to \mathbb {R} }$,

so dass die Dichtequotientenfunktion eine monoton wachsende Funktion in ${\displaystyle T}$ ist, so heißt das statistische Modell ein Modell mit wachsendem Dichtequotienten in ${\displaystyle T}$.

Es existiert also eine monoton wachsende Funktion ${\displaystyle g_{\vartheta \colon {\overline {\vartheta }}}}$, so dass

${\displaystyle R_{\vartheta \colon {\overline {\vartheta }}}=g_{\vartheta \colon {\overline {\vartheta }}}\circ T}$

ist.

Verwendung

In Modellen mit monotonem Dichtequotient lässt sich das Neyman-Pearson-Lemma auf einseitige Tests verallgemeinern. Dabei sind einseitige Tests von der Form

${\displaystyle \Theta _{0}=\{\vartheta \in \Theta \,|\,\vartheta \leq \vartheta _{0}\}{\text{ und }}\Theta _{1}=\{\vartheta \in \Theta \,|\,\vartheta >\vartheta _{0}\}}$

oder umgekehrt, wobei ${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ eine vorgegebene Zahl ist. Somit existiert in diesem Fall ein gleichmäßig bester Test zu einem vorgegebenen Niveau ${\displaystyle \alpha }$, der auch explizit angegeben werden kann.

Eine große Verteilungsklasse mit monotonem Dichtequotient ist beispielsweise die einparametrige Exponentialfamilie.

Literatur

• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8. 
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 
• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.