Monotone Zahlenfolge

Eine monotone Zahlenfolge ist eine spezielle Folge, bei der Anforderungen an das Wachstumsverhalten der Folge gestellt werden. Werden die Folgeglieder immer größer, so heißt die Folge eine monoton wachsende Folge oder monoton steigende Folge, werden sie immer kleiner, so heißt sie eine monoton fallende Folge. Eine Verschärfung der Anforderungen liefert dann den Begriff der streng monoton wachsenden Folge und streng monoton fallende Folge. Die Monotonie einer Folge ist ein wichtiges Mittel, um die Konvergenz von Folgen zu zeigen und lässt sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Ist eine Folge reeller Zahlen ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )}$ gegeben, so heißt diese Folge

• Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, dass ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$.
• Streng monoton wachsend oder streng monoton steigend, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, dass ${\displaystyle a_{n+1}>a_{n}}$.
• Monoton fallend, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, dass ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$.
• Streng monoton fallend, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, dass ${\displaystyle a_{n+1}<a_{n}}$.
• Monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend ist.
• Streng monoton, wenn sie entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist.

Beispiele

• Die Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left((-1)^{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }=(-1,1,-1,1,-1,1,\dotsc )}$ ist weder monoton wachsend noch fallend, also auch nicht monoton.
• Die Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left({\tfrac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }=(1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dotsc )}$ ist streng monoton fallend, denn bildet man die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenwerte ${\displaystyle a_{k}-a_{k+1}={\tfrac {1}{k(k+1)}}}$, so ist diese immer echt positiv, demnach ist ${\displaystyle a_{k}>a_{k+1}}$. Damit ist diese Folge insbesondere auch monoton fallend und damit auch monoton.
• Die Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left(-{\tfrac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ ist streng monoton wachsend. Die Argumentation funktioniert genau wie oben, aber mit umgedrehtem Vorzeichen.
• Eine Folge, die monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend ist, lässt sich mittels der Gaußklammer definieren als ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left(\lfloor {\tfrac {k}{2}}\rfloor \right)_{k\in \mathbb {N} }=(0,1,1,2,2,3,3,\dotsc )}$. Da hier bereits einmal ein Wert doppelt angenommen wird, kann die Folge nicht mehr streng monoton sein. Trotzdem ist sie monoton wachsend und damit auch monoton.

Eigenschaften

• Eine Folge ist genau dann eine konstante Folge, wenn sie zugleich monoton wachsend und monoton fallend ist.
• Jede monotone Folge konvergiert oder divergiert bestimmt.
• Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Genauer konvergiert nach dem Monotoniekriterium eine beschränkte, monoton fallende Folge gegen das Infimum ihrer Folgeglieder; entsprechend konvergiert eine beschränkte, monoton wachsende Folge gegen das Supremum ihrer Folgeglieder. Ebenso liefert dies die Existenz von Grenzwerten für unendliche Kettenbrüche.
• Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge.
• Der Begriff der Monotonie von Zahlenfolgen ist ein Spezialfall des Begriffs der Monotonie von Abbildungen. Dazu betrachtet man die beiden geordneten Mengen ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$ und ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$. Dann ist die Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ genau dann monoton wachsend (fallend), wenn die Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ definiert durch ${\displaystyle f(k)=a_{k}}$ monoton wachsend (fallend) ist.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig 2004. ISBN 3-528-67224-2
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4