Monge-Ampèresche Gleichung

Eine Monge-Ampère'sche Gleichung, oder Monge-Ampère'sche Differentialgleichung, ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in ${\displaystyle n}$ Variablen.

Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19. Jahrhunderts eingeführt, um ein Massentransportproblem („problème du remblai-déblai“, etwa: „Problem von Erdaufschüttung und -aushub“) für militärische Zwecke zu lösen. Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu lösen. Die Gleichung ist zusätzlich nach André-Marie Ampère benannt, der sich mit ihr um 1820 befasste.

Mathematische Formulierung

Allgemein hat eine Monge-Ampère'sche Gleichung über einem offenen Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ die Form

${\displaystyle \det \,D^{2}u=f}$

wobei ${\displaystyle u\colon \Omega \to \mathbb {R} }$, mit ${\displaystyle u=u(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ die unbekannte Funktion ist, ${\displaystyle f\colon \Omega \times \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} }$ eine gegebene Funktion ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})}$, und

${\displaystyle D^{2}u={\begin{pmatrix}u_{x_{1}x_{1}}&\cdots &u_{x_{1}x_{n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{x_{n}x_{1}}&\cdots &u_{x_{n}x_{n}}\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{mit }}u_{x_{i}x_{j}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$

die Hesse-Matrix von ${\displaystyle u}$. Speziell für den zweidimensionalen Fall ${\displaystyle n=2}$ ergibt sich die einfache Gestalt

${\displaystyle u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^{2}=f}$

mit ${\displaystyle (x,y)\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ und den Funktionen ${\displaystyle u(x,y)}$ und ${\displaystyle f(x,y,u,u_{x},u_{y})}$. Oft wird für den Fall n=2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine Monge-Ampère'sche Gleichung bezeichnet:

${\displaystyle Ar+2Bs+Ct+(rt-s^{2})=E,\qquad {\mbox{mit }}r=u_{xx},\ s=u_{xy},\ t=u_{yy},\ p=u_{x},\ q=u_{y},}$

wobei ${\displaystyle A,B,C}$ und ${\displaystyle E}$ Funktionen von (${\displaystyle x,y,u,p,q}$) sind. Man erkennt gleich, dass sich mit ${\displaystyle A=B=C=0}$ und ${\displaystyle E=f}$ die obige einfachere Gestalt ergibt.

Konkretes Beispiel

Sei ${\displaystyle n=2}$ und ${\displaystyle f(x,y)=4(1-y^{2})(1-x^{2})-16x^{2}y^{2}}$. Dann ist ${\displaystyle u(x,y)=(1-x^{2})(1-y^{2})}$ eine Lösung der Monge-Ampère'schen Differentialgleichung, denn ${\displaystyle u_{xx}=-2(1-y^{2}),}$ ${\displaystyle u_{yy}=-2(1-x^{2}),}$ ${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}=-4xy,}$ und daher ${\displaystyle \det \,D^{2}u=\det {\begin{pmatrix}-2(1-y^{2})&-4xy\\-4xy&-2(1-x^{2})\end{pmatrix}}=f(x,y).}$

Klassifizierung als partielle Differentialgleichung

Eine Monge-Ampère'sche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in ${\displaystyle n}$ Variablen. Erläuterungen:

• „partielle Differentialgleichung“, denn es wird eine von mehreren Variablen abhängende Funktion ${\displaystyle u}$ gesucht, deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen müssen.

• „voll nichtlinear“, da alle Terme mit zweiten (also den höchsten) Ableitungen von ${\displaystyle u}$ quadratisch auftauchen.

Eine wichtige Klasse sind die elliptischen Monge-Ampère'schen Gleichungen, die für ${\displaystyle n=2}$ die Bedingungen ${\displaystyle AC-B^{2}+E>0}$ und ${\displaystyle t+A>0}$ erfüllen, bzw. in der einfacheren Form einfach ${\displaystyle f>0}$.

Anwendungen

Die meisten Anwendungen der Monge-Ampère'schen Gleichung sind innermathematischer Art insbesondere in der Differentialgeometrie. Beim Minkowski-Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperfläche mit vorgegebener Gaußkrümmung gesucht, was auf eine Monge-Ampère'sche Gleichung führt. Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelöst.

Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String-Theorie ergab sich durch ein 1978 veröffentlichtes Resultat von Yau, der eine Vermutung von Calabi über die Krümmung bestimmter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Lösung einer komplexen Monge-Ampère'schen Gleichung bewies (Satz von Yau). Man spricht heute entsprechend von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bedeutende Beiträge zu Monge-Ampère'schen Gleichungen im Verlaufe des 20. Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, Luis Caffarelli, Alexei Wassiljewitsch Pogorelow, Thierry Aubin, Sébastien Boucksom, Alessio Figalli und Guido de Philippis.

Weblinks

• Plots von Lösungen Monge-Ampèrescher Gleichungen (Memento vom 5. Februar 2005 im Internet Archive)
• Eintrag in MathWorld (engl.)
• Pogorelov Monge-Ampère equation, Encyclopedia of Mathematics, Springer