Mollweidesche Formeln

Sinussatz:

${\displaystyle {b \over a}={\sin(\beta ) \over \sin(\alpha )};\quad }$(1)

${\displaystyle {c \over a}={\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )};\quad }$(2)

Sinusidentitäten:

${\displaystyle \sin(\beta )+\sin(\gamma )=2\cdot \sin({\beta +\gamma \over 2})\cdot \cos({\beta -\gamma \over 2});\quad }$(3)

${\displaystyle \sin(\beta )-\sin(\gamma )=2\cdot \cos({\beta +\gamma \over 2})\cdot \sin({\beta -\gamma \over 2});\quad }$(4)

Sinus-Additionstheorem für Doppelwinkel:

${\displaystyle \sin(\alpha )=\sin(2\cdot {\alpha \over 2})=2\cdot \sin({\alpha \over 2})\cdot \cos({\alpha \over 2});\quad }$(5)

Winkelsumme im Dreieck und Übergang zum Komplementärwinkel:

${\displaystyle \sin({\beta +\gamma \over 2})=\sin({180^{\circ }-\alpha \over 2})=\sin(90^{\circ }-{\alpha \over 2})=\cos({\alpha \over 2});\quad }$(6)

${\displaystyle \cos({\beta +\gamma \over 2})=\cos({180^{\circ }-\alpha \over 2})=\cos(90^{\circ }-{\alpha \over 2})=\sin({\alpha \over 2});\quad }$(7)

Addition von (1) und (2), Anwendung von (3) und (5), Kürzen unter Verwendung von (6):

${\displaystyle {b+c \over a}={\sin(\beta )+\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )}=}$${\displaystyle {\frac {2\cdot \sin({\beta +\gamma \over 2})\cdot \cos({\beta -\gamma \over 2})}{2\cdot \sin({\alpha \over 2})\cdot \cos({\alpha \over 2})}}=}$${\displaystyle {\frac {\cos({\beta -\gamma \over 2})}{\sin({\alpha \over 2})}};}$

Subtraktion von (1) - (2), Anwendung von (4) und (5), Kürzen unter Verwendung von (7):

${\displaystyle {b-c \over a}={\sin(\beta )-\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )}={\frac {2\cdot \cos({\beta +\gamma \over 2})\cdot \sin({\beta -\gamma \over 2})}{2\cdot \sin({\alpha \over 2})\cdot \cos({\alpha \over 2})}}={\frac {\sin({\beta -\gamma \over 2})}{\cos({\alpha \over 2})}};}$

Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner ergibt die angegebenen Formeln. Die anderen beiden Formeln, die eine Summe bzw. eine Differenz zweier Seiten enthalten, entstehen durch zyklische Substitution der Seiten- und Winkelbezeichnungen