Modulationsraum

In einem Modulationsraum wird die „Größe“ einer Funktion anhand ihres Spektrogramms bestimmt. Anschaulich wird das Spektrogramm in gleich große Abschnitte unterteilt, deren Größe wiederum anhand deren Spektrogramme bestimmt wird; bei einer ähnlichen Beschreibung der Besov-Räume ist die Größe dieser Abschnitte exponentiell anwachsend. Bei Modulationsräumen handelt sich um eine Familie von Banachräumen,^[1][2] in denen eine Funktion mittels ihrer Kurzzeit-Fourier-Transformation mit einer Testfunktion in einem Schwartz-Raum gemessen wird. Ursprünglich von Hans Georg Feichtinger untersucht, erwiesen sich diese Räume als nützlicher Rahmen für die Zeit-Frequenz-Analyse.

Definition

Für ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$, eine nicht-negative Funktion ${\displaystyle m(x,\omega )}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d}}$ und eine Testfunktion ${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})}$ ist der Modulationsraum ${\displaystyle M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})}$ durch

${\displaystyle M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})\ :\ \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}|V_{g}f(x,\omega )|^{p}m(x,\omega )^{p}dx\right)^{q/p}d\omega \right)^{1/q}<\infty \right\}.}$

definiert.

Dabei bedeutet ${\displaystyle V_{g}f}$ die Kurzzeit-Fourier-Transformation von ${\displaystyle f}$ in Hinblick auf ${\displaystyle g}$ bei ${\displaystyle (x,\omega )}$ ausgewertet. Das heißt, ${\displaystyle f\in M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})}$ ist äquivalent zu ${\displaystyle V_{g}f\in L_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{2d})}$. Der Raum ${\displaystyle M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})}$ hängt nicht von ${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})}$ ab. Die kanonische Wahl für die Testfunktion ist die Gauß-Funktion.

Feichtinger-Algebra

Der Modulationsraum mit ${\displaystyle p=q=1}$ und ${\displaystyle m(x,\omega )=1}$, also ${\displaystyle M_{m}^{1,1}(\mathbb {R} ^{d})=M^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ wird auch als Feichtinger-Algebra bezeichnet und wurde von Feichtinger ursprünglich ${\displaystyle S_{0}}$ genannt,^[3] weil es sich um die kleinste Segal-Algebra handelt, die unter Zeit-Frequenzverschiebungen, also kombinierten Translations- und Modulationsoperatoren invariant ist. ${\displaystyle M^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ist ein in ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})\cap C_{0}(\mathbb {R} ^{d})}$ eingebetteter Banachraum und unter der Fouriertransformation invariant. Aus diesem und anderen Gründen ist ${\displaystyle M^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ein naheliegender Raum für Testfunktionen in der Zeit-Frequenz-Analyse.

Einzelnachweise

1. ↑ Karlheinz Gröchenig: Foundations of Time-Frequency Analysis. Birkhäuser, Boston 2001, ISBN 978-0817640224
2. ↑ Modulation Spaces: Looking Back and Ahead (Memento vom 24. Dezember 2012 im Internet Archive)
3. ↑ H. Feichtinger: On a new Segal algebra. Monatsh. Math. 92, S. 269–289, 1981, (online (Memento vom 25. September 2006 im Internet Archive)).