Metabolischer quadratischer Raum

In der Mathematik sind metabolische quadratische Räume ein Begriff aus der Algebra, spezieller der Theorie quadratischer Formen.

Definition

Ein quadratischer Raum ${\displaystyle (V,q)}$ heißt metabolisch, wenn es einen Unterraum ${\displaystyle U\subset V}$ mit ${\displaystyle U=U^{\perp }}$ gibt.

Beispiel: die hyperbolische Ebene

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$. Der quadratische Raum ${\displaystyle (V,q)}$ mit ${\displaystyle V=K^{2}}$ und ${\displaystyle q(x,y)=xy}$ (oder äquivalent ${\displaystyle q(x,y)=x^{2}-y^{2}}$) heißt hyperbolische Ebene (nicht zu verwechseln mit der hyperbolischen Ebene der hyperbolischen Geometrie).

Klassifikation

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$. Dann ist jeder metabolische quadratische Raum eine direkte Summe hyperbolischer Ebenen.

Literatur

• John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer, 1973. ISBN 3-540-06009-X