Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung (auch Matrix-Langevin-Verteilung) ist Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der multivariaten Statistik untersucht wird. Es handelt sich hierbei um die matrixvariate Von-Mises-Fisher-Verteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit. Sie findet Anwendung in der gerichteten Statistik.

Die Verteilung wurde 1972^[1] von Thomas D. Down eingeführt und ist nach Richard von Mises und Ronald Fisher benannt.

Sei

• ${\displaystyle V_{n,p}:=V_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, wir können die Mannigfaltigkeit als ${\displaystyle V_{n,p}=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=I_{p},\;p\leq n\}}$ identifizieren,
• ${\displaystyle [dX]}$ das Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle V_{n,p}}$,
• ${\displaystyle {}_{0}F_{1}^{(2)}(b;S)}$ die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument, d. h. ${\displaystyle b\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle S\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ symmetrisch,
• ${\displaystyle \operatorname {etr} (S)=\exp(\operatorname {tr} (S))}$,

dann ist die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung zum ${\displaystyle n\times p}$-Parameter ${\displaystyle F}$ definiert als^[2]

${\displaystyle L(X;F)={\frac {\operatorname {etr} (F'X)[dX]}{{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}},\quad X\in V_{n,p}.}$

${\displaystyle {}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}$ kann mit Hilfe von zonalen Polynome als Reihe dargestellt werden.

Die Integraldarstellung

${\displaystyle \int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)[dX]={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}FF'\right)}$

wurde 1961^[3] von Alan T. James bewiesen. Sei ${\displaystyle F}$ vom Rang ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle F=MDV^{T}}$ die Singulärwertzerlegung, dann gilt

${\displaystyle {}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}D^{2}\right)}$

mit ${\displaystyle D^{2}=\operatorname {diag} (d_{1}^{2},\dots ,d_{p}^{2})}$.

Die momenterzeugende Funktion ist

${\displaystyle M_{X}(Z)=\int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)\operatorname {etr} (ZX)[dX]={\frac {{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}(F'+Z)(F'+Z)'\right)}{{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}}.}$^[4]

Down studierte die Verteilung auf der Stiefel-C-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle S(C)=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=C,\;p\leq n\}}$, wobei ${\displaystyle C}$ eine positiv definite ${\displaystyle p\times p}$-Matrix ist.^[5]

• Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch). 
• Yasuko Chikuse: Concentrated matrix Langevin distributions. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 85, 2003, S. 375–394, doi:10.1016/S0047-259X(02)00065-9 (englisch). 
• Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817 (englisch). 

1. ↑ Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817. 
2. ↑ Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 281. 
3. ↑ Alan T. James: The Distribution of Noncentral Means with Known Covariance. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Mathematical Statistics. Band 32, Nr. 3, 1961, S. 874 - 882, doi:10.1214/aoms/1177704980. 
4. ↑ Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5, S. 282. 
5. ↑ Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676.