Martingalmaß

Das Martingalmaß (auch risikoneutrales Maß) ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Die Bedeutung von Martingalmaßen liegt darin, dass bei einem vorgegebenen Marktmodell mit Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ genau dann äquivalente Martingalmaße existieren, falls es keine Arbitragemöglichkeit im Marktmodell gibt. Dies ist genau die Aussage des ersten Fundamentalsatzes der Arbitragepreistheorie.

Martingalmaß in diskreten Modellen

Finanzmarktmodell

Gegeben sei ein Finanzmarktmodell bestehend aus ${\displaystyle d}$ Anlagegütern (z. B. Aktien oder Derivate) ${\displaystyle (S^{1},\dotsc ,S^{d})}$, einem Numéraire ${\displaystyle S^{0}}$ und Zeitpunkten ${\displaystyle t\in {0,\dotsc ,T}}$ mit ${\displaystyle T\in \mathbb {N} }$. Die Wertentwicklung eines Anlagegutes ${\displaystyle S^{i}}$ wird mittels eines stochastischen Prozesses modelliert. Das heißt, zu jeder Zeit ${\displaystyle t=0,\dotsc ,T}$ entspricht ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ dem Preis des ${\displaystyle i}$-ten Anlageguts und ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ ist eine nichtnegative Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$.

Der Informationsgewinn im betrachteten Finanzmarkt kann durch eine Filtrierung modelliert werden. Eine Filtrierung ist eine aufsteigende Folge von ${\displaystyle \sigma }$-Algebren mit ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}}$. Dabei beschreibt die Menge ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ die bis zur Zeit ${\displaystyle t}$ beobachtbaren Ereignisse. Weiter soll gelten, dass die Preise ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ für alle ${\displaystyle t=0,\dotsc ,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-messbar sind. Damit soll dem Umstand Rechnung getragen werden, dass die Preise ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ bekannt sind.

Schließlich versteht man unter dem diskontierten Preisprozess ${\displaystyle X^{i}:=S^{i}/S^{0}}$ die zinsbereinigte Wertentwicklung von Anlagegütern.

Definition

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in {0,\dotsc ,T}},P)}$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\in {0,\dotsc ,T}}}$ heißt ${\displaystyle P}$-Martingal, falls folgende drei Eigenschaften gelten:

• ${\displaystyle X}$ ist adaptiert an ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in {0,\dotsc ,T}}}$, d. h. ${\displaystyle X_{t}}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-messbar für alle ${\displaystyle t\in {0,\dotsc ,T}}$.
• ${\displaystyle X}$ ist ein integrierbarer Prozess, d. h. ${\displaystyle X_{t}\in {\mathcal {L}}^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P)}$ für alle ${\displaystyle t\in {0,\dotsc ,T}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {E} _{P}(X_{t+1}|{\mathcal {F}}_{t})=X_{t}\,P}$-fast sicher für alle ${\displaystyle t\in {0,\dotsc ,T-1}}$

Nun heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P^{*}}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ Martingalmaß, falls die diskontierten Preisprozesse ${\displaystyle X^{i}}$ für alle ${\displaystyle i=1,\dotsc ,d}$ ${\displaystyle P^{*}}$-Martingale sind.

Äquivalentes Martingalmaß

Falls zusätzlich ${\displaystyle P^{*}}$ äquivalent zu ${\displaystyle P}$ ist, d. h. ${\displaystyle P^{*}(A)=0\Leftrightarrow P(A)=0}$ für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, so heißt ${\displaystyle P^{*}}$ äquivalentes Martingalmaß.

Äquivalentes lokales Martingalmaß

Sind die diskontierten Preisprozess lokale Martingale und ${\displaystyle P^{*}}$ zu ${\displaystyle P}$ äquivalent, so heißt ${\displaystyle P^{*}}$ äquivalentes lokales Martingalmaß.

Beispiel

Folgendes Glücksspiel wird vereinbart: Beim Wurf einer fairen Münze erhält der Spieler bei Zahl ${\displaystyle 1}$ Euro und bei Kopf ${\displaystyle 2}$ Euro. Die Teilnahme am Spiel wird auf ${\displaystyle 1{,}70}$ Euro festgelegt. Das Marktmodell besteht in diesem Fall aus ${\displaystyle d=1}$ Anlagegütern und aus zwei Zeitpunkten, einem Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ vor dem Wurf und einem Zeitpunkt ${\displaystyle t=T=1}$ nach dem Wurf. Die anderen Parameter im Marktmodell lauten den Angaben entsprechend ${\displaystyle \Omega =\{1,2\}}$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=\{\emptyset ,\Omega \}}$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}={\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$ und ${\displaystyle P}$ ist die Gleichverteilung auf ${\displaystyle \Omega }$. Der diskontierte Wertprozess ${\displaystyle X^{1}}$ des Glücksspieles entspricht in dem Fall dem Preisprozess ${\displaystyle S^{1}}$ und lautet ${\displaystyle X_{0}^{1}=1{,}70}$ und ${\displaystyle X_{1}^{1}=1\cdot \chi _{\{1\}}+2\cdot \chi _{\{2\}}}$. Offensichtlich handelt es sich bei ${\displaystyle P}$ um kein Martingalmaß, da gilt

${\displaystyle \operatorname {E} _{P}(X_{1}^{1}|{\mathcal {F}}_{0})=\operatorname {E} _{P}(X_{1}^{1})=1{,}50\neq 1{,}70=X_{0}^{1}}$.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P^{*}=0{,}3\cdot \delta _{1}+0{,}7\cdot \delta _{2}}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ist dagegen ein äquivalentes Martingalmaß. Der diskontierte Preisprozess ${\displaystyle X^{1}}$ ist offensichtlich adaptiert und integrierbar (dies ist unabhängig vom gewählten Wahrscheinlichkeitsmaß) und es gilt:

${\displaystyle \operatorname {E} _{P^{*}}(X_{1}^{1}|{\mathcal {F}}_{0})=\operatorname {E} _{P^{*}}(X_{1}^{1})=1{,}70=X_{0}^{1}}$.

Literatur

• Christian Mohn: Martingalmaße und Bewertung europäischer Optionen in diskreten unvollständigen Finanzmärkten. Dissertation, Universität Oldenburg 2004.
• Andreas Ott: Wachstumsorientierte Bewertung von Derivaten. Springer-Verlag, 2007, Seite 18.