Mandelbulb

Mandelbulb-Bild gemäß der Formel v⁹ ↦ v + c

Das Mandelbulb-Fraktal ist ein dreidimensionales Fraktal. Es wurde 2009 von Daniel White und Paul Nylander konstruiert. Dazu wurde ein herkömmliches Mandelbrot einer sphärischen Koordinatentransformation unterzogen.^[1]

Mathematik

Eine dreidimensionale Mandelbrot-Menge in Normalenform existiert so nicht, denn es gibt kein 3-dimensionales Analogon der komplexen Ebene (sondern nur höher-dimensionale Zahlensysteme wie Quaternionen oder Dimensionen anderen hyperkomplexen Zahlen).

Whites und Nylanders Formel für den n-ten Exponenten des Vektors ${\displaystyle {\mathbf {v} }=\langle x,y,z\rangle }$ in einem kartesischen Koordinatensystem (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) lautet

${\displaystyle {\mathbf {v} }^{n}:=r^{n}{\begin{pmatrix}\sin(n\theta )\cos(n\phi )\\\sin(n\theta )\sin(n\phi )\\\cos(n\theta )\end{pmatrix}}}$

unter Verwendung von

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$,

${\displaystyle \phi =\arctan(y/x)=\arg(x+yi)}$, und

${\displaystyle \theta =\arctan({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}/z)=\arccos(z/r)}$.

Die Mandelbulb ist sodann definiert als die Menge der c-Werte in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ für die der Orbit von ${\displaystyle \langle 0,0,0\rangle }$ unter der Iteration ${\displaystyle {\mathbf {v} }\mapsto {\mathbf {v} }^{n}+{\mathbf {c} }}$ begrenzt ist^[2]. Für n > 3 ergibt sich eine 3-dimensionale birnenähnliche Struktur mit fraktalen Oberflächendetails und eine Anzahl an "Lappen" abhängig von n. Viele Graphikrenderings nutzen für n den Wert 8. Die Gleichungen können in rationale Polynome vereinfacht werden, wenn n ungerade ist. Für den Fall n = 3 kann die ${\displaystyle {\mathbf {v} }\mapsto {\mathbf {v} }^{3}}$ in die folgende, vereinfachte Form umgeformt werden:

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{3}=\left\langle \!{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})x(x^{2}-3y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},\;{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})y(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},\;z(z^{2}-3x^{2}-3y^{2})\right\rangle }$.

Allgemeiner kann man entsprechende Fraktale (neben n auch von p und q abhängend) für die Abbildung

${\displaystyle {\mathbf {v} }^{n}:=r^{n}\langle \sin(p\theta )\cos(q\phi ),\;\sin(p\theta )\sin(q\phi ),\;\cos(p\theta )\rangle }$

konstruieren, wobei p und q nicht gleich n sein müssen, um |v​ⁿ| = |v|ⁿ zu erfüllen. Noch allgemeinere Fraktale können mit der Iteration

${\displaystyle {\mathbf {v} }^{n}:=r^{n}\langle \sin(f(\theta ,\phi ))\cos(g(\theta ,\phi )),\;\sin(f(\theta ,\phi ))\sin(g(\theta ,\phi )),\;\cos(f(\theta ,\phi ))\rangle }$

gefunden werden.

Ähnlichkeit mit der Mandelbrot-Menge

Durch gewisse Transformationen des Mandelbulb-Fraktals lässt sich eine Ähnlichkeit mit der Mandelbrot-Menge erahnen. Wenn man im Fall n = 2 das Fraktal in der Mitte durchschneidet, erkennt man die klassische Mandelbrot-Menge.

Die Julia-Menge am Nullpunkt der Mandelbrot-Menge entspricht einer idealen Kreisfläche. Analog dazu ist die Julia-Menge am Nullpunkt der Mandelbulb eine ideale Kugel. Diese Julia-Mengen unterscheiden sich hier also nur in der Anzahl der Dimensionen voneinander.

Trivia

• Im 2014 erschienenen Computeranimationsfilm Baymax findet eine Szene im Zentrum eines Wurmloches statt, das dem stilisierten Inneren einer Mandelbulb ähnelt.^[3]
• Ein Alien im Science-Fiction-Horrorfilm Auslöschung als Teil einer Mandelbulb.^[4]
• Das Geisterreich der Kerht im Webcomic Unsounded wird als goldene Mandelbulb dargestellt.^[5]

Galerie

Die folgende Galerie zeigt verschiedene Ansichten und Besonderheiten der Mandelbulb, teils auch als Animation:

• 

  Gesamtansicht

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  Blick von oben

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  Eine "Knolle"

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  Der obere Teil

• 

  Überblick über die "Lamellen"

• 

  Eine "Lamelle" im Detail

• 

  Eine Einbuchtung der Mandelbulb

• 

  Ansicht einer aufgeschnittenen, hohlen Mandelbulb

• Mandelbulb aus Sicht von 3 Rotationsachsen

• "CT-Scan" der Mandelbulb, der verschiedene Schichten zeigt

• Übersicht (Flug über verschiedene Partien)

• Knollen von Nahem

• Wachstum der Variable der Fraktalformel v^x ↦ v + c, linearer Anstieg des Wertes von x von 0 auf 21; Frontalansicht

• Wachstum der Variable der Fraktalformel v^x ↦ v + c, linearer Anstieg des Wertes von x von 0 auf 21; Fraktal um 90° gedreht (Blick von oben)

Siehe auch

• Mandelbox
• Mandelbulber (Fraktalgenerierendes Programm; benannt nach der Mandelbulb)

Weiterführende Links

Commons: Mandelbulb – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, on Daniel White's website
• Mehrere Varianten der Mandelbulb auf Nylanders Webseite
• Ein fraktalgenerierendes Programm, das u.a. die Mandelbulb rendert.
• Formeln für Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb von Jules Ruis
• Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb mit Beispielen realer 3D-Objekte
• Video : Blick auf die Mandelbulb
• Diskussion auf Fractalforums.com zum Thema Mandelbulb
• Animierter Flug um die Mandelbulb

Einzelnachweise

1. ↑ Richard Rosenman: Hypercomplex Fractals. BUGMAN, 7. März 2009, abgerufen am 9. Juli 2020 (englisch). 
2. ↑ Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal. siehe "Formel"-Bereich
3. ↑ David Hutchins, Olun Riley, Jesse Erickson, Alexey Stomakhin, Ralf Habel, Michael Kaschalk: Big Hero 6 | ACM SIGGRAPH 2015 Talks. Abgerufen am 9. Juli 2020 (englisch). 
4. ↑ Emily Gaudette: What Is Area X and the Shimmer in 'Annihilation'? VFX Supervisor Explains the Horror Film's Mathematical Solution. NewsWeek, 26. Februar 2018, abgerufen am 26. Februar 2018 (englisch). 
5. ↑ Unsounded. Abgerufen am 9. Juli 2020 (englisch).