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Mandelbox

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Mandelbox mit Skalierung -1,5 (weist in sich andere bekannte Fraktale auf)

In der Mathematik ist die Mandelbox ein Fraktal mit einer kastenartigen Form, das 2010 von Tom Lowe entdeckt wurde. Sie ist ähnlich wie die berühmte Mandelbrot-Menge definiert als die Werte eines Parameters, bei denen der Ursprung unter Iteration bestimmter geometrischer Transformationen nicht ins Unendliche entweicht.

Die Mandelbox ist als eine Abbildung kontinuierlicher Julia-Mengen definiert, kann aber im Gegensatz zur Mandelbrot-Menge in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen definiert werden und wird zur Veranschaulichung üblicherweise in drei Dimensionen gezeichnet.^[1]

Vereinfachte Definition

Die einfache Definition der Mandelbox lautet: Für einen Vektor z wird für jede Komponente in z (die einer Dimension entspricht), wenn der Absolutwert der Komponente größer als 1 ist, entweder von 2 oder -2 subtrahiert, je nach z.

Generierung

Die Iteration wird wie folgt auf den Vektor z angewendet:

function iterate(z):
    for each component in z:
        if component > 1:
            component := 2 – component
        else if component < -1:
            component := -2 – component

    if magnitude of z < 0.5:
        z := z * 4
    else if magnitude of z < 1:
        z := z / (magnitude of z)^2

    z := scale * z + c

Dabei ist c die zu prüfende Konstante und scale eine reelle Zahl.

Eigenschaften

Wie auch bei der Mandelbrot-Menge oder anderen Fraktalen lassen sich Parameterwerte bei der Mandelbox verändern bzw. manipulieren.

Eine bemerkenswerte Eigenschaft der Mandelbox, insbesondere für den Skalierungswert -1,5, ist, dass sie Annäherungen an viele bekannte Fraktale enthält.^[2]^[3]^[4]

Scale = -1,5: IFS-Strukturen: In der Mitte eine IFS-Struktur, drumherum weitere Fraktalstrukturen

Bei $1<|{\text{scale}}|<2$ weist die Mandelbox einen festen Kern auf. Folglich ist seine fraktale Dimension 3, oder n, wenn man sie auf n Dimensionen verallgemeinert.^[5]

Bei ${\text{scale}}<-1$ haben die Seiten der Mandelbox die Länge 4. Bei $1<{\text{scale}}\leq 4{\sqrt {n}}+1$ haben sie die Länge $4\cdot {\frac {{\text{scale}}+1}{{\text{scale}}-1}}$ .^[5]

Weiterführende Links

Einzelnachweise

↑ Tom Lowe: What Is A Mandelbox?. Archiviert vom Original am 8. Oktober 2016. Abgerufen am 15. November 2016.
↑ negative-mandelbox
↑ more-negatives
↑ mandelbox_3d_fractal
↑ ^a ^b Rudi Chen: The Mandelbox Set.

Auf dieser Seite verwendete Medien

Mandelbox 20211127 1GP RGBA8.png
Autor/Urheber: PantheraLeo1359531, Lizenz: CC0
Ein detailliertes 1-Gigapixel-Rendering mit akkurater Strahlenberechnung der Mandelbox in türkis. Das Rendering benötigte etwa 250 GiB RAM, das Rendering dauerte 2 Stunden, 52 Minuten und 2,3 Sekunden. Das Rendering erfolgte mit einer Geforce RTX 3090 Gigabyte Eagle OC 24G. Die Grafik hat die Abmessungen von 32000x32000 Pixel und erlaubt damit ein tiefgründiges Beobachtbaren und Studieren kleinerer Strukturen. Das Bild hat eine Bittiefe von 32 Bit, 24 Bit für die RGB-Farbkanäle und 8 Bit für die Transparenz (Alphakanal). Die 64-Bit-Version wäre etwa 3x so groß.

Die Merkmale der Mandelbox: Die hier sichtbare Mandelboxoberfläche hat ein festes Zentrum, drumherum hat das Fraktal mehr offene Bereiche. Manche Teile, besonders in den Ecken, sind vom restlichen Körper losgelöst, also nicht verbunden. Auch sieht man quadrat-, rechteckig-, Kuben- oder Quaderformen, teils auch gewölbt bezeihungsweise gebogen. Die Mandelboxoberfläche hat diverse Symmetrieachsen (1 waagrechte, 1 senkrechte, 2 diagonale), die jeweils durch den Mittelpunkt verlaufen. Die Mandelbox ist auch punktsymmetrisch. Jede Oberfläche sieht identisch im Vergleich zur anderen aus. Das zweidimensionale Bild bildet eine dreidimensionale Mandelbox in ihrer Standardform ab. Die Mandelbox passt perfekt in einen Würfel. Die Kreisbögen sind omnipräsent, die Mandelbox im gesamten wirkt wie eine ausgeklügelte, futuristische Form, gar wie eine Festung zukünftiger, hochintelligenter Zivilisationen. Manche Kreisbögen erinnern an Portale. Die Farbe an sich ist irrelevant für die Definition der Mandelbox, hier jedoch so gewählt, dass die Helligkeit von Türkis auch dunklere Bereiche ausreichend hell darstellt, ohne helle Bereiche überbelichtet ohne Strukturdetails zu hinterlassen. Die Strahlenberechnung der Lichtquelle folgt der Einstellung "mehrere Strahlen mit Light Map". Dies erlaubt, auch beschattete Partien (die, die eher im Inneren der Mandelbox gelegen sind) ausreichend hell und mit Details des Lichteinfalls zu versehen, damit diese auch einigermaßen gut sichtbar sind und nicht nur dunkel sind, sondern auch Details zur Oberflächenstruktur liefern. Theoretisch ließen sich aber die Tiefen ("dunklere Bereiche") noch anheben (aufhellen). Die Abmessungen des Bildes erlauben auch, hochauflösende Teile herauszunehmen und weiter zu erläutern. Manche angedeuteten Verläufe lassen sich mehrfach wiederfinden. Aufgrund der Tatsache, dass dieser Körper ein Fraktal ist, lässt sich keine endgültige Detailtiefe ermitteln. Keine Rastergrafik dieser Welt kann alle Detailstrukturen des Fraktals darstellen. Egal ob dieses Bild 4 Gigapixel, 20 Terapixel oder 500.000.000 Yottapixel groß ist. Das Rendern noch größerer Bilder benötigt noch enormere Arbeitsspeicherkapazitäten und Recheneinheiten.

Mandelbox Scale -1,5 mit IFS 17072019.jpg
Autor/Urheber: PantheraLeo1359531, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Aus der zugehörigen FRACT-Datei:

Mandelbulber settings file
version 2.18
only modified parameters

[main_parameters] ambient_occlusion_enabled true; ambient_occlusion_mode 1; ambient_occlusion_quality 10; camera 1,684373543400722 1,963908143849059 1,93548935425577; camera_distance_to_target 3,220119554164132; camera_rotation 163,804279791819 -49,79527932096625 7,124442486478278e-13; camera_top -0,2130226770237511 -0,7334333464698082 0,6455206157511415; file_background C:\Users\<Username>\Downloads\mandelbulber2-win64-2.16-standalone\mandelbulber2-win64-2.16-standalone\textures\background.jpg; file_envmap C:\Users\<Username>\Downloads\mandelbulber2-win64-2.16-standalone\mandelbulber2-win64-2.16-standalone\textures\envmap.jpg; file_lightmap C:\Users\<Username>\Downloads\mandelbulber2-win64-2.16-standalone\mandelbulber2-win64-2.16-standalone\textures\lightmap.jpg; flight_last_to_render 99999; formula_1 8; hdr true; image_height 4500; image_proportion 4; image_width 8000; keyframe_last_to_render 0; limit_max 10 0 10; mat1_coloring_random_seed 262229; mat1_is_defined true; mat1_surface_color_palette 19111c 31399b e37072 d6ff6b 21ffff 9a8184 bd696b 940082 0023c8 79c4a8; raytraced_reflections true; SSAO_random_mode true; target 1,104596792904976 -0,03225305486736052 -0,5238539181309525; [fractal_1]

mandelbox_scale -1,5;

Mandelbox 20211129 -1,5 RGBA8.png
Autor/Urheber: PantheraLeo1359531, Lizenz: CC0
Eine Mandelbox mit der Skalierung -1,5. In dieser speziellen Mandelbox finden sich verschiedene (ähnliche) andere Fraktale. Das Rendering erfolgte mit einer GeForce RTX 3090 und dauerte 65 Minuten und 57 Sekunden und brauchte etwa 198 GiB RAM.

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