Magnetische Flussdichte

Physikalische Größe
NameMagnetische Flussdichte
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
EinheitDimension
SITM·I−1·T−2
Gauß (cgs)Gs = 105·γM½·L·T−1
esE (cgs)statTM½·L−3/2
emE (cgs)Gs = 105·γM½·L·T−1

Die magnetische Flussdichte, auch magnetische Induktion, bisweilen in der fachlichen Umgangssprache nur „Flussdichte“ oder „Magnetfeld“ oder „B-Feld“ genannt, ist eine physikalische Größe der Elektrodynamik. Sie ist die Flächendichte des magnetischen Flusses, der senkrecht durch ein bestimmtes Flächenelement hindurchtritt.

Die magnetische Flussdichte an einem Ort ist eine gerichtete Größe, also ein Vektor, und wird aus dem Vektorpotential hergeleitet.

Definition und Berechnung

Lorentzkraft auf ein positiv geladenes Teilchen der Geschwindigkeit v (links) bzw. das vom Strom I durchflossene Leiterstück der Länge s (rechts) im dazu senkrecht verlaufenden Magnetfeld der Flussdichte B.

Wie die elektrische Feldstärke ist auch die magnetische Flussdichte historisch zunächst einmal indirekt, d. h. über ihre experimentell messbare Kraftwirkung auf bewegte elektrische Ladungen, definiert worden, die nach älterer Namenskonvention als Lorentzkraft, nach neuerer Konvention als magnetische Komponente der Lorentzkraft bezeichnet wird und in vektorieller Schreibweise wie folgt notiert wird:

mit:

  • – bewegungsbedingte Kraftwirkung auf die Ladung im Magnetfeld
  • elektrische Ladung, oder Stromstärke
  • Geschwindigkeit der Ladungsbewegung, oder – Länge des Wegs des elektrischen Stroms durch den untersuchten Leiter (Die Orientierung von richtet sich nach der technischen Stromrichtung)
  • – magnetische Flussdichte

Die erste der beiden oben aufgeführten Gleichungen wird vorwiegend für frei im Raum bewegliche Ladungen, z. B. Elektronen innerhalb einer Braunschen Röhre, benutzt, die zweite dagegen für Ladungen, die sich innerhalb von elektrischen Leitern, z. B. Drähten oder Kabeln, bewegen. Beide Gleichungen sind gleichwertig.

In den genannten Formeln ist ein Vektor, der in Richtung der Feldlinien des erzeugenden Magnetfelds zeigt.

Verzichtet man auf die vektorielle Schreibweise und damit die Möglichkeit, die Richtung der Kraftwirkung aus dem Vektorprodukt der beiden Vektoren und bzw. und zu bestimmen, kann gemäß folgender Formel auch als skalare Größe berechnet werden:

mit:

  • – elektrische Ladung, oder – Stromstärke
  • – Geschwindigkeit der Ladungsbewegung, oder – Länge des Wegs des Stroms im Leiter
  • – Betrag der magnetischen Flussdichte
  • – Winkel zwischen der Richtung der Ladungsbewegung und der Richtung des magnetischen Flusses, oder zwischen der Richtung des Stromflusses und der Richtung des magnetischen Flusses.

Bewegt sich die elektrische Ladung mit der Geschwindigkeit senkrecht zur Richtung des magnetischen Flusses und/oder verläuft der untersuchte elektrische Leiter senkrecht zur magnetischen Flussrichtung, kann, da in diesem Fall den Wert 1 annimmt, der Zahlenwert von gemäß folgender Gleichung auch direkt aus der Kraftwirkung auf die Ladung bzw. den Leiter als Ganzes berechnet werden:

Der Zusammenhang mit der magnetischen Feldstärke ist:

.

Dabei ist die magnetische Permeabilität.

Messung

Die magnetische Flussdichte kann mit Magnetometern, Hallsensoren oder Messspulen gemessen werden.

Maßeinheit

Die SI-Einheit der magnetischen Flussdichte ist das Tesla mit dem Einheitenzeichen T:

Eine veraltete Einheit für die magnetische Flussdichte ist außerdem das Gauß mit dem Einheitenzeichen G oder Gs, das in der Astronomie und der Technik noch verwendet wird. Es gilt 1 T = 10 000 G.

Spezialfälle

Im Folgenden werden der Einfachheit halber nur die Beträge der Flussdichten angegeben.

  • magnetische Flussdichte im Abstand von einem geraden stromdurchflossenen Leiter:
(Die Richtung der Flussdichte ergibt sich aus der Korkenzieherregel.)
  • im Inneren einer langen Spule:
(Hierbei sind die Windungszahl und die Länge der Spule. Streng genommen ist dies nur eine Näherungsformel, die nur unter folgenden Voraussetzungen gilt: Die Länge der Spule ist groß verglichen mit dem Radius der Spule, die Windungen sind sehr dicht und gleichmäßig und der betrachtete Ort befindet sich im Inneren der Spule und nicht in der Nähe der Spulenenden. Die Richtung der Flussdichte verläuft parallel zur Spulenachse. Für die Orientierung siehe dort. Außerhalb der Spule ist die Flussdichte nahezu Null.)
  • in einiger Entfernung von einem magnetischen Dipol mit dem Dipolmoment :
(Das Dipolmoment einer kreisförmigen Leiterschleife mit der orientierten Querschnittsfläche ist .)

Magnetische Flussdichte und magnetischer Fluss

Die magnetische Flussdichte ist als Flächendichte über folgende Beziehung mit dem magnetischen Fluss verknüpft:

.

Dass die Flusslinien des magnetischen Flusses in sich geschlossen sind, lässt sich mathematisch dadurch zum Ausdruck bringen, dass jedes Flächenintegral von über eine beliebige geschlossene Oberfläche den Wert annimmt:

.

Diese Gleichung ist mathematisch gesehen eine direkte Konsequenz der homogenen Maxwellschen Gleichung

sowie des Gaußschen Satzes

für ein beliebiges Vektorfeld und das von eingeschlossene Volumen .

Anschaulich gesprochen: Wenn man sich ein durch eine beliebig geformte geschlossene Fläche eingeschlossenes Volumen in einem magnetischen Feld vorstellt, fließt stets genauso viel „Magnetismus“ aus durch die Oberfläche nach außen wie von außen hinein. Dies bezeichnet man als „Quellenfreiheit des magnetischen Feldes“.

Größenbeispiele

Beispiele für verschiedene magnetische Flussdichten in der Natur und in der Technik:

Magnetische
Flussdichte
Beispiel
0,1 bis 10 nTMagnetfelder im interstellaren Medium und um Galaxien[1]
50 μTErdmagnetfeld in Deutschland
0,1 mTZulässiger Grenzwert für elektromagnetische Felder bei 50 Hz (Haushaltsstrom) in Deutschland gemäß der 26. BImSchV
2 mTIn 1 cm Abstand von einem 100-A-Strom, z. B. Batteriestrom beim Anlassen eines Automobils, siehe Ampèresches Gesetz
0,1 THandelsüblicher Hufeisenmagnet[2]
0,25 TTypischer Sonnenfleck
1,61 TMaximale Flussdichte eines NdFeB-Magneten. NdFeB-Magnete sind die stärksten Dauermagnete, typische Flussdichten sind 1 T bis 1,5 T
2,45 TSättigungspolarisation von Fe65Co35, der höchste Wert eines Materials bei Raumtemperatur.[3]
0,35 bis 3,0 TKernspintomograph für die Anwendung am Menschen. Zu Forschungszwecken werden auch Geräte mit 7,0 T und mehr verwendet
8,6 TSupraleitende Dipolmagnete des Large Hadron Collider des CERN in Betrieb[4]
12 TSupraleitende Niob-Zinn Spule des ITER Kernfusion-Projektes[5]
20 TSupraleitende Hoch-Temperatur-Spule (20 K) für Kernfusions-Reaktor[6]
28,2 TDerzeit stärkster supraleitender Magnet in der NMR-Spektroskopie (1,2-GHz-Spektrometer)[7]
32 TStärkster Magnet auf Basis von (Hochtemperatur-)Supraleitern[8]
45,5 TStärkster dauerhaft arbeitender Elektromagnet, Hybrid aus supraleitendem und konventionellen Elektromagneten[9]
100 TPulsspule – höchste Flussdichte ohne Zerstörung der Kupferspule, erzeugt für wenige Millisekunden[10]
1200 THöchste durch elektromagnetische Flusskompression erzeugte Flussdichte (kontrollierte Zerstörung der Anordnung, im Labor)[11]
2800 THöchste durch explosiv getriebene Flusskompression erzeugte Flussdichte (im Freien)[12]
1 bis 100 MTMagnetfeld auf einem Neutronenstern
1 bis 100 GTMagnetfeld auf einem Magnetar. (Z.B. 10 GT bei PSR J1745−2900)
1038 Ttheoretisch maximal mögliches Magnetfeld[13]

Literatur

  • K. Küpfmüller, G. Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung. 16., vollst. neu bearb. u. aktualisierte Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-20792-9.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. siehe z. B. Magnetfelder in Spiralgalaxien@mpg.de 2014 (PDF 1,4 MB); „Es gibt Theorien, dass das intergalaktische Medium von Magnetfeldern erfüllt ist, aber sie müssten wesentlich schwächer sein als die galaktischen Felder“, Kosmische Magnetfelder. Ungeahnte Ordnung im All Ruhr-Universität Bochum 2018, abgerufen 8. November 2018.
  2. LHC Dipolmagnet Funktionsprinzip. Abgerufen am 4. August 2011.
  3. Heinz M. Hiersig (Hrsg.): Lexikon Ingenieurwissen-Grundlagen. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-95765-9, S. 242 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. CERN FAQ – LHC the guide. (PDF; 27,0 MB) Februar 2009, abgerufen am 22. August 2010 (englisch).
  5. Kernfusion: Versuchsreaktor ITER bekommt sein Herzstück. In: heise.de. 17. Juni 2021, abgerufen am 13. Oktober 2021.
  6. MIT ramps 10-ton magnet up to 20 tesla in proof of concept for commercial fusion. In: MIT News. 10. September 2021, abgerufen am 13. Oktober 2021.
  7. MPG: One of the strongest high resolution NMR. Abgerufen am 14. März 2021 (englisch).
  8. Meldung im Magnetics
  9. David C. Larbalestier et al.: 45.5-tesla direct-current magnetic field generated with a high-temperature superconducting magnet. In: Nature. Nr. 570, 12. Juni 2019, S. 496–499, doi:10.1038/s41586-019-1293-1 (englisch).
  10. Strongest non-destructive magnetic field: world record set at 100-tesla level. (Nicht mehr online verfügbar.) In: lanl.gov. Los Alamos National Laboratory, 22. März 2012, archiviert vom Original am 19. Juli 2014; abgerufen am 12. November 2019 (englisch).
  11. D. Nakamura, A. Ikeda, H. Sawabe, Y. H. Matsuda, S. Takeyama: Record indoor magnetic field of 1200 T generated by electromagnetic flux-compression. In: Review of Scientific Instruments. Band 89, 2018, S. 095106, doi:10.1063/1.5044557.
  12. A.I. Bykov, M.I. Dolotenko, N.P. Kolokolchikov, V.D. Selemir, O.M. Tatsenko: VNIIEF achievements on ultra-high magnetic fields generation. In: Physica B: Condensed Matter. Band 294-295, 2001, S. 574–578, doi:10.1016/s0921-4526(00)00723-7.
  13. Isabelle Dumé: Magnetic fields go to the maximum. Physics World, 18. Mai 2006, abgerufen am 20. Dezember 2021.

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Lorentzkraft v2.svg
(c) Honina, CC-BY-SA-3.0
Die Illustration zeigt die Lorentzkraft.
ACHTUNG:Es wird darauf verwiesen, dass es sich bei den bewegten Ladungen im linken Bild um positive Ladungsträger z.B. Kationen handeln muss. Bei Elektronen würde die Lorentzkraft in die entgegengesetzte Richtung wirken. Im rechten Bild ist die technische Stromrichtung mehler ergibt die Rechte-Hand-Regel die richtige Richtung. Ansonsten muss man zur Ermittlung der Richtung der Lorentzkraft auf Elektronen die linke Hand (siehe auch 3-Finger-Regel) nutzen.